T^TT

qui donne lieu à Ténoncé suivant :

TnÉORiuE. Le nombre des combinaisons de m lettres ou objets, groupés p par p, s'obtient en divisant le produit de p nombres entiers consécutifs décroissants, le premier d'entre eux étant égal à m, par le produit des ^premiers nombres.

Ml. Remarque. Le nombre C^, par définition même, étant

un nombre entier, il résulte de la formule (6) la propriété suivante :

Théorème. Le produit de p nombres entiei^s consécutifs est toujours divisible par le produit des p premiers nombres entiers.

ANALYSE COMBINATOIRE 19

M . La formule (6) pouvant s'écrire

p m{m — 1) . . . (w — p-hi) {tn — p ) . . . 2. i .

91^. Théorème. Le nombre de comf^inaisons de m lettres, prises p « p, est égal au nombre des combinaisons prises (m — p) à (m — p).

En d'autres termes, et d'après notre notation, on a

(8) c=cr^.

Ceci résulte de Tégalité (7), le second membre restant identique à lui-même quand on change p en (m — p). Mais on peut aussi rétablir a priori^ ainsi qu'il suit.

Imaginons les m lettres proposées ; prenons p d'entre elles, nous formons un terme a de CJ^ ; mais les {m —p) lettres qui n'ont pas été considérées forment, par leur ensemble, un terme a' de C^^ ; ainsi on ne peut pas imaginer un terme du

groupe de CJj qui n'ait son correspondant dans le groupe

C*"^. La réciproque est vraie; on a donc autant de termes

dans les deux groupes CJ^, C^~^.

*3. Théorème. Le nombre des combinaisons de m lettres a, b, c,... 1 ; prises p à p, est égal au nombre des combinaisons de (m — 1) lettres p à p, augmenté du nombre des combinaisons de ces (m — 1) lettres pi^ises (p — i) à (p — 1).

U faut démontrer que Ton a

(9) C = c^-i + cj.z\.

Cette relation, comme celle du théorème précédent, peut s'établir de deux façons différentes. Elle peut d'abord être considérée comme une conséquence de la formule (7). En effet, on a, d'après cette formule^

rv - (^^^ " 0 î

d'où

ou

(p — i) î (?n — p — i)!p. (w — p) p\{m — p) ! * et par conséquent

. fis. Remarque. On peut aussi reconnaître celte propriété a priorij en remarquant que les termes du groupe C^ peuvent être séparés en deux parties : la première formée de ceux qui ne renferment pas la lettre a et qui sont en nombre QP^^y î

Tautre, constituée par tous les termes dans lesquels entre la lettre a. On peut imaginer que, dans ces termes, on mette la lettre a. en facteur : on voit alors que la parenthèse ainsi obtenue renferme, sans omission et sans répétition, tous les termes du groupe C^jlp formés avec les lettres 6, c,... k, /.

Ce raisonnement montre donc bien que le nombre C^ est la somme des nombres CJ^^j et C^'^-r