Exprimer que les trois racines de iéquation
ce? + P^* -H ya? -h r z: 0 ,
sont les dites d'un triangle rectangle et résoudre l'éqttaiion, dans ce cas particulier^
En désigaant par a, b, c les racines et en supposant
on déduit, de la relation
a-i-b =r — p—Çy la suivante
pc^ -^r __ p" c "~ 2 "
Ou trouve finalement
__ p' -f- 2/* — ipq
la condition cherchée est donc
p^{p* — < 2q) zz 2 {2pq — 2r — i>^/. ». Exprimer que deux des racines de l'équation
x' -hpx* -f- </ic -h r :r 0,
ont un produit égal à + 1, ou à — i. On trouve
t;t, dans le second cas,
f O. £/i appliquant les relations entre les coefficienls et les racines^ trouver
la condition que doivent vérifier les coefficients de léquation
X* -h px^ '\-qx-\-r-=io^
pour que celle^i admette une racine double.
En dësigaaat par x' la racine doable, ou trouve d abord les deux relations
3a?'* -h 'ipx' -hq = o, px'* H- 2qx' -f- 3r := o.
On en conclut la condition demandée
(gr—pqy = 4 (3y — p*) (3jor - q*),
ou >
4p'r — /?V — i^pqf" + iq* -H ^yr* — o.
if. On propose de déterminer une équition du troisième degré
^ +px* 4- ^0? +■ r = o,
connaissant la somme, la somme dfs carrés^ et la somme des cubes^ des racines de cette équation.
Ayant posé
S, zz a +6 + c
ou a, d ubordy
oi
Si — S,
D autre part, l'identité
a* -f- ô* -h c' — 3aôc s: (a -H ô -H c) {a*-hb* -{-c^ --ab --ac—bc)
donue
S'î — 3S,S,-l-aS, r=: ^ .
K. Trouver une râlation entre les nombres S|, Sj. Ss efc C exercice précèdentf et la quantité
on remarque qne
Si -hpS^ -h qS^ + rS, = o, et les formules précédentes donnent
6S4 -+. 6SfS, = Sf-f. 8S.S3-l-3Sf.
YINGT-NEUYIÈME LEÇON
899. Déflnition. Éliminer x entre deux équations entières et homogènes
(0 fip^yy)^% (a) 9(dr,y)=:o.
c'est trouver la condition nécessaire et suffisante j que doivent vérifier les coefficients des polynômes fet 9, pour que les équations (i) et (a) admettent, tune et Vautre, la solution ajurx', yz=.y'; x' et y' n'étant pas nuls à la fois.
Les principes connus sur la divisibilité d*un polynôme entier et homogène par un facteur linéaire aix -f 3y> prouvent que la condition énoncée ci-dessus est équivalente à celle-ci : trouver la condition nécessaire et suffisante que doivent vérifier ki coefficients des polynômes fet 0, pour qu'ils admettent un diviseur commun de la forme ax + ^y.
Cette condition nécessaire et suffisante se nomme le résultant ou Véliminant des deux polynômes proposés.
K Théorème. Si les polynômes entiers et homogènes
le premier du degré p, F autre du degré q, admettent un diviseur linéaire commun ^ on peut trouver deux autres polynômes entiers et homogènes U ,, V^p respectivement de degrés (p— »)
et{q — 1) satisfaisant à V identité
LÉLIMINATION 423
Soit xc-h^ le diviseur commun aux deux polynômes proposés ; si nous désignons par U^^, et V^j les quotients
«a?H-Py
et ^-î --, quotients qui sont respectivement d'un degré
aa: -f- Py
indiqué par les indices des lettres U et V, nous avons
/),(x,y)s:(aa:-f-py)Up p ?y(a?,y)=:(xr-|-gî/)V^.p
Pt, par combinaison,
3S1. Théorème. Réciproquement j les notatwnss précédentes étant maintenues y si on a
^\^\ ^^ U^t w*^'^^'*^ P<^ identiquement nuls^ les deux polyn<ymes f^ et ^^ admettent un diviseur communie la forme zx + ^y.
En effet le premier membre de l'identité (i)est décomposable en (p-+-^— i) facteurs de la forme (xx+^ ($ 357). Panni ces facteurs, (g— 1) constituent par leur produit le polynôme V^^^^ et nous pouvons imaginer que les deux membres de (1) ont été divisés successivement par ces (^ — 1) facteurs. La simplification une fois effectuée, comme 9^ est du degré q, il restera dans le second membre, au moins un facteur de <p^, (mx + ny). Ce facteur appartient donc aussi à f , et cette remarque établit le théorème en question.
38^. Remarque. On peut généraliser les deux propriétés précédentes et montrer, par un raisonnement tout semblable à celui que nous venons de développer, que la condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes fp et <p^ admettent h diviseurs de la forme olx -}- ^yy est que l'identité
4?i VINGT-NEUVIÈME LEÇON
soit vérifiée; V^j^, U^^ désignant des polynômes entiers, homogènes, respectivement de degrés g —keip — k.
3S3. Méthode d*Ealer. La méthode d^Ëuler, que nous allons d'abord exposer, peut être considérée comme la conséquence immédiate des théorèmes précédents.
Posons
Nous avons démontré Texistence de doux polynômes U ,,
v^, = ,ox''-' + z,x"-y + ... + »,,y-\
lesquels vérifient Tidentité
Écrivons que tous les coefficients de ce polynôme sont nuls : nous obtenons {p -+■ q) équations linéaires et homogènes, que l'on peut écrire, en supposant p supérieur, ou égal, à q.
! A<,so -HB„6o
A,ao+Aoa, +H,6„+Bo6,
A,a„+A,a.-i-A„a, +B,6o-f-B,6,-|-Bo5,
De ces équations linéaires et homogènes qui admettent une solution non nulle; résulte un déterminant que nous désignons par A^, et que nous nommerons de/^rmwian^ cTEuler. Ce déterminant donne lieu aux remarques suivantes :
1" Il est d'ordre (p-hq)y et ses éléments sont les lettres A et 6, coefficients des équations proposées.
2* Les q premières colonnes renferment les seules lettres A, coefficients de Téquation qui est du degré p ; et les p colonnes suivantes les seules lettres B, coefficients de Féqualion qui est du degré q.
3« Le terme diagonal est (Ao)^ (B^f .
Démontrons maintenant que : rédiproquement, si l'on a \zz o, les équations /* (j? , y) zz o, o (a; , y) =r o ; ont au moins une solution commune.
En effet si Ton a A^ — o on sait (% 109) que les équations (H) admettent une solution différente de zéro; il exisle donc des facteurs U^„ V^, tels que Ton ait
et nous avons prouvé [% 38 1) que celte identité établit le fait que les équations /'(a:,y)i=o, o (x,y)iro ont, au moins, une racine commune.
l. Théorème. Le résultant est homogène et du degré p par rapport aux coefficients B, de V équation ^{x ^y)zzi\; homogène et du degré q, par rapport aux coefficients A, de réquation f{x^y)zz o.
Ce théorème résulte des remarques qui ont été faites au paragraphe précédent, relativement à la forme de A^. Imaginons, en effet, un terme quelconque U de A^ ; toutes les colonnes doivent être représentées dans les facteurs qui constituent U. U y a donc, dans ce terme, q lettres A eip lettres B,
38&. Méthode de M. ISylveftter. Les notations précé-
(lentes étant conservées, on a
x^^?{x,y): yx^h{xyy\i
AoO^^y^-'-f-
K,xy^'
Boa;^^*y'^-4- ... +B,a:y'^^"-
Ro.^^2/'^*-^ . . • -^V
Posons maintenant
les équations précédentes, après ce changement de notation, deviennent des équations (X), linéaires et homogènes par rapport aux lettres
Si nous supposons que les polynômes /"(x. y) Qi^{x.y\ soient exactement divisibles, Tun et Fautre, parle fecteur {ax -h by), le système (X) est vérifié par des valeurs des inconnues X, qui ne sont pas toutes nulles. Il résulte de cette remarque, que Ton a
Ao Aj .••• A •••»•• . • Ao Aj • ■ • • A • . • .
Bo B B^^
• • Oa De • • • ■ I'.. • • • ■
Bq b, . . . b
zz o.
Tel est le déterminant donné par la méthode de M. Sylvester ; on remarquera qu'il est, au signe près^ identique à celui auquel a conduit la méthode d'Euler. L'un et Tautre représentent le résultant.
380. Méthode de Bezont. Dans Texposition de celte méthode nous distinguerons deux cas suivant que les équations considérées ont, ou n'ont pas, le même degré.
i""" Cas. Soient U ir o et V =: o, deux équations du degré m. On a, par un groupement convenable des termes,
h désignant un nombre entier, pouvant prendre successivement les valeurs i, îî, ... (m— i). On en déduit
et
Soit x\ y' la solution commune aux deux équations U r= o, \ zz o\ x' e\ y* n'étant pas nuls simultanément. En combinant deux à deux les identités précédentes on a
P,S,-R,Q. = o (i) P,S. - R,S, zr o
équations qui admettent* la solution xzzx\yzz y'. On peut d'ailleurs remarquer que les fonctions
P P P U,, iij, ... i\ ;
428 VINGT-NEUVCÈME LEÇON
sont, par rapport à Xy respectivement de degrés
* m — 1, m — 2, ... o ; D'autre part,
sont des polynômes en a?, respectivement de degrés
Ainsi les équations (i) sont, tout au plus, du degré (m— i), en X, Ordonnons-les, par rapport à a? et posons, comme nous Tavons fait tout à Theure, dans l'exposition de la méthode de M. Sylvester,
m^y—^ y -^m-i=:x y, ...Xo — y ,
nous trouvons ainsi m équations linéaires et homogènes, équations qui admettent une solution non nulle et nous obtenons, finalement, sous la forme d'un déterminant d'ordre m, égalé à zéro, une relation entre les coefficients des deux équations proposées. Nous démontrerons tout à l'heure que celte condition représente le résultant.
2"*® Cas. Supposons maintenant que les degrés m etp, des équations U m o V=:o, soient différents; et soitf»=p4-î-
La méthode que nous venons d'indiquer fournit seulement p équations :
A|Xfn— I + A|Xfn— 2 + ... -h Ai Xq ru o
ApXfR.1 -h A^Xfiï-2 + . . . -f- Ap Xo "^ 0.
On peut compléter le tableau de ces équations de la manière suivante, soit
L'ÉLlMhNATIOX
on en déduit
yx'^W = ^.af^'i-'y + • . . -f- gy-y^'
on a donc
-ry-l
(II'
3„Xo =0.
Les équations (H) et (H') étant vérifiées par des valeurs des inconnues X, qui ne sont pas toutes nulles, on a
Aï
Hj ••• (*p
