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. Théorème. Le détet^minant auquel conduit la méthode de Bezout est égal au résultant,

La condition Ag zz o que nous venons de trouver est une condition nécessairjment vérifiée quand les équations que nous avons considérées admettent une solution commune ; il reste à reconnaître que A b = o est aussi une condition suffisante.

Nous avons montré (J^ 384) que le résultant des équations U :r: o, V =r o devait être du degré m par rapport aux coefficients de V et du degré p par rapport à ceux de U. Les élé-

ments A et Ag sont d'ailleurs des fonctions du premier d^ré relativement aux coefficients de U et de V.

Observons aussi que toutes les lignes et toutes les colonnes doivent être représentées dans un terme quelconque de Ag. Ainsi Ag est une fonction des coefficients, et cette fonction est

telle que chacun de ses termes est du degré m, par rapport aux coefBcients de V ; et du degré p, par rapport à ceux de U. Le déterminant Ag n'est donc pas d'un degré supérieur au ré*

sultant ; et comme il est au moins égal au résultant, puisque Ag — o est une condition nécessaire, on voit, finalement, que

Ad représente bien le résultant lui-même.

388* Perfectionnement de Canchy. Le perfectionnement que Cauchy a apporté à la méthode précédente est d'une importance secondaire, et porte seulement sur une l^re modification relative à la manière de calculer les équations qui nous ont servi à établir le déterminant Ag.

Imaginons d*abord deux équations de même degré, et Élisons passer successivement dans le second membre i, 'i^...ni termes: si nous divisons, membre à membre, les équations ainsi trouvées^ nous obtenons les m équations de Bezout et, par suite le déterminant Ad.

Dans le cas où les deux équations ne sont pas de même degré, le procédé de Cauchy donne encore/? équations de Bezout auxquelles on adjoindra les équations H% considérées tout i rheure.

380* Élimination par les fonctions syniêtriqHe». Tiiéoréme. Considérons les deux êquadoiis

f{x) =: A^P + A,a^* + ... + a^ = o, ç (x) =: BoO?'' -h B,x''-' + ... -h B^ = u,

et soient a,, \, •••'-,,; '^^ racines de la première; •/„ ;jl„ ...;ji^' celles de la seconde ; les devx expressions S, et T,

Sz:/-(|x.)/*(i..).../^(pt,),

L'ÉLIMINATION 43i

sont identiques, au signe pf*éSy et représentent le résultant. On a, en effet,

f(x) =: (x — A,) (x — A,) ... (a; — A^), et^ par conséquent,

S zz (;;., — A,) (;x, —A,) ... ([/., — Xp) (l^-i— Xi) {\J-t — \) ••• (l^i — Xp)

On trouve de même

(Xp— l^) (Xp— ;;..) . . . (Xp — [i.y).

En comparant ces expressions de S et de T on voit qu'elles se composent, Tune etTautre, de pq facteurs identiques, au signe près; ainsi S et T sont deux expressions identiques, au signe près.

Je dis maintenant que S ou T représentent le résultant. En effet si f{x) — u, et 9 (x) — o, admettent une racine commune ; si A^ = [x^, dans la colonne de rang h et dans la ligne de rang

h' de S, on trouvera un facteur nul. On voit de même que dans la colonne de rang h' et dans la ligne de rang h on a, dans T, un facteur nul. Ainsi Set T s'annulent, quand les équations proposées ont une racine commune.

Réciproquement si Ton a S == o ou T = o ; un des pq facteurs qui constituent S ou T est nul; et les deux équations ont une racine commune. On a donc le résultant en écrivant, indiffé* remment, S — o, ou T — o.

390^ Remarque. Le résultant pouvant s^écrire

8 zr (Ao^Ç + ... + Ap (A«î;i4- ... 4- Ap) ... (Aoi^.? -h . . . 4- A^)

on voit que S est une fonction symétrique des racines |Ai, [>.,,

... li.^; par conséquent on pourra exprimer S par une fonction

rationnelle des coefficients B (g 378). On remarquera d^ailleurs que S est une fonction rationnelle, et du degré ^, par rapport aux coefficients A.

L'égalité

T = (BoM + ... -hB^)(BoA?-h ... f. B^) ... (BoA^ 4- ... +B^)

prouve encore que T est une fonction rationnelle du degré py par rapport aux coefficients B ; S et T étant identiques, au signe près, et représentant le résultant, quand on les égale à zéro, on retrouve ainsi la proposition déjà établie (§ 384).

301 . Théorème de BesEout. Si Von imagine deux équations quelconques entre xety

Vune du degré p, Vautre du degré q, le résultant est, efi gênéralj du degré pq : dans tous les cas, il ne peut être d'un degré supérieur à pq.

Ordonnons les équations données, par rapport à x, elles s'écrivent alors :

(1) \^ 4- k.x^"^ -h ... + Ap =1 o, {1) Boxv H- B,a:^-* + . . -}- B^ 1= o.

Les coefficients A et B sont des polynômes entiers en y et le degré de chacun d'eux, par rapport à la lettre y, est égal, ou inférieur, à Tindice correspondant.

Soit x'y' une solution commune aux équations (i)et(2), si nous remplaçons y par y\ dans (i), et dans (2), on obtient deux équations en Xy qui admettent une solution commune : X11X*. Le résultant de ces deux équations est donc nul; ainsi y^ est une racine du résultant.

Réciproquement. Considérons le résultant R (y) rr o et soil y une racine quelconque de cette équation ; remplarons^ par y' y dans (1), et dans (2); nous obtenons deux équations, dont

le résullant est nul, et qui, par suite, admettent au moins une solution commune, x zzx'\

Il résulte de cette discussion que les solutions des deux équations proposées s'obtiennent par la résolution deTéqualion R (y) iz o, équation qu'on peut nommer la résolvante du système. Nous nous proposons maintenant d'établir que cette résolvante est d'un degré égal, ou inférieur, au produit des . degrés des deux équations données.

Posons a? r:—; les équations

r (i ') AoK" + A .pXP-' + . . . H- ApP'' =: o, (2') B.X» + B ,pX»-' + . . . + B^pP = o,

ont respectivement pour racines

et

Le résultant U, des équations (i) et (2), étant donné par la formule

on voit que chacun des facteurs sera multiplié par p et comme il y a pq facteurs, le résultant V, des équations (i ') et (2'), sera

(3) V iz U . ^'

D'autre part, si nous comparons les équations (1) et (2) avec (i*) et (2'), on reconnaît que la seule différence que Ton puisse noter est la suivante : chacun des coefficients A ou B est remplacé dans (1') et dans (2') parle même coefficient

W4 VliNGÏ-NEUViÈME LEÇON

multiplié par une puissance de p dont Texposant est justement égal à Tindice de la lettre considérée. La formule /3) prouve que tous les termes de V renferment le facteur p^ ; on conclut de là que chacun de ces termes est constitué par des facteurs A et B, les indices de ces lettres ayant une somme égale à pq. Chacun des termes de U est donc d'un degré en y égal ou inférieur à pq.

HWit, Théorème. Le nombre des soltUions communes à deux équations de degrés p et q est généralement égal à pq : dans aucun cas, il n'est supéi'ieur à j)q-

Imaginons le résultant R {y) = » : cette équation est généralement du degré pq\ elle admet donc pq racines,

Vi Ut' -y

A chacune d'elles, à y^ par exemple, correspond une racine tt',, x^ désignant la racine commune aux deux équations

On a ainsi, en général, jt>(/ solutions pour les deux équations proposées.

On peut pourtant objecterque le rïombre des solutions sérail supérieur à ;?^, si, à la racine y,, correspondaient deux solutions X,, x\, communes aux équations M ; ces nombres x, x| étant d'ailleurs différents de ceux qui correspondent aux racines y,, .,.y^.

Cette circonstance particulière ne saurait se présenter, parce que en éliminant y entre les équations

on obtiendrait un résultant S (2;) = o qui admettrait plus de pq racines, et nous avons démontré que le résultant ne pouvait, dans aucun cas, être d*un degré supérieur à pq.

L'ÉUMINATION 435

398. MétfMNle de lirewton. Considérons deux équations du degré m, admettant une solution commune x\

l '= AoO?"* -I- . . . +A^n=o, V- Boa?** -h. .4-8^ = 0.