L.es deux équations

(i) U.-BoU-A,V-o, BU - A V

sont, Tune et l'autre, du degré {m — t) et sont vérifiées évidemment par xz=Lx*. En opérant sur U, et V, comme nous Tavons fait sur U et V on obtiendra deux équations U, = « V, — 0, du degré {m — a), et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à deux équations du premier degré en x

Pa;4-Q=:o,

MiT'-hNzio.

Ces équations admettant la solution a; =: vc;' on a donc

PN-MQ = o.

Cette méthode indiquée par Newton donne lieu généralement à des calculs assez simples ; malheureusement elle ne donne pas toigours le résultant lui-même, mais^ dans certains cas, le résultant multiplié par des facteurs étrangers.

Lorsque les équations ne sont pas du même degré, on forme d*abord la combinaison (2); puis on remplace (1) par la combinaison

BoU — Ao Vu;* - o,

en supposant que le degré de U surpasse celui de V de A unités.

i . Éliminer les paramètres X e/ pi entre les éqiialions

(i) x(t+\)=Rv.

(2) y (i -h ji.) = KX

1° La uiéthode naturelle pour effectour cette découipo^ition cousUle à résoudre les deux première» équations par rapport à X et à |i. On a

\(li'-X!f) = y(x + l{) ;x(R*-ary)=j!(R4-y).

par suite

(A) (ir - xy)' = y* (x -+- U)' + j;* (R + yf.

2o Ou peut encore diriger le calcul d'élimiualiou de la mauière soi* vaute. Les équations (i) et (a) donnent

R (i-hA) 1-+-/S U-+-X*

Ou a donc pour le résultai de réiiminatiou, ainsi dirigée

3® Prenons enfin la marche suivante : on a, par une combinaison endente

x-hy 1-I-X4-.W.

et

Cette derniôre forme D'est pas décomposablc ; soq discriminant étant différent de zéro. C'est donc le résultant demandé. Les formes A et B sont roRpectivcment da quatrième et du huitième degré. On voit par cet exemple, combien l'élimination, en dehors du cas que nous avons traité dans cette leçon, et qui est seul complètement résolu, est une chose délicate et avec quelle facilité s'introduisent les facteurs étraugcrs, dans ces méthodes d'élimination par combinaison des relations données.

• . Éliminerai entre les deux reiatiom

A sin a + B COS a n C, A' sin a -h B' cos a ir C.

on trouve

On rencontre quelquefois le cas particulier suivant

A sinaH-B cosarzC, A cosa — B sinazzC.

le résultant est alors

A*-+-B*-C'-hC'V

S. Rendre rationnelle Viquation

On pose

et on élimine y et s entre les équations

2/*— a;=ro,

2* — a; zr o ;

on a, finalement.

x' — toir*4-^"" * — ^*-

438 VrNGT-NEUVIÈME LEÇON