Démontrer que /é»/î /ro/> équations
(e> + c)a? + (aH-c)3/-H (a-f- ft) == «,
jon^ compatibles.
Nous nous proposons de ramener la résolution d'une équation, qui admet des racines multiples, à celles d'équations de degrés moindres, et ne renfermant que des racines simples. Ce problème, qui constitue un premier exemple de l'abaissement des équations, se résout en prenant pour base la théorie du plus grand commun diviseur. Nous exposerons d'abord celte théorie.
THÉORIE DU PLUS ORAND COIIIIUN DIVISEUR.
30ii. Définition dn plus §^rand CMNnmnn diviseur algébrique. Lorsque deux polynômes entiers et homogènes U et V n'admettent aucun diviseur commun de la forme (iX'{' hy, on dit que ces polynômes sont premiei^s entre eux.
Si, au contraire, D désignant un polynôme entier et homogène, on a
et
II , et V , étant des polynômes entiers, homogènes, et premiers entre eux; on dit que D est le ])lus grand commun diviseur de U et de V.
Deux polynômes U, V, qui ne sont pas premiers entre eux, admettent évidemment un p, g, c. d., lequel est d'un degré égal, ou inférieur, au plus petit des degrés de U et de V. On voit aussi qu'il n'y a qu'un seul polynôme pouvant repré-
senter la fonction que nous venons de définir. Il peut y avoir plusieurs diviseurs communs à U et Y; mais il n'y a qu*uii seul p .g . c.d., lequel est, parmi les diviseurs communs, celui qui a le degré le plus élevé.
Ceci posé, nous allons résoudre le problème suivant : Detix polynômes U et V, étant donnés; reconnaître qu'Us sonty ou non, premiers entre eux; et dans le cas où ils ne sont pas premiers entre eux, déterminer leur p . g . c . d.
On remarquera, dans les développements qui vont suivre, le rapprochement que Ton peut faire entre la théorie du p.g ,c .d, algébrique et celle du /> . ^ . c . cf., telle qu'elle a été exposée en arithmétique.
89S. Eiemne. Si U n'est pas exactement divisible par V, /e p . g • c . d. entre V et\ est le même que celui qui existe entre le polynôme V et le reste R obtenu en effectuant la division de U par V.
Si U était exactement divisible par V, -V serait évidemment le p, g. c, d. cherché. Supposons donc que cette division ne se fasse pas exactement et conduise à Tidentité
(i) U=:VQH-U,
on voit d'abord que si U et V sont premiers entre eux, V et R sont, eux aussi, premiers entre eux. En effet si V et R admettaient le diviseur commun x — a;© on aurait
Vo — o et Ro — o,
par conséquent Uo = o; mais alors U serait divisible par
x-^xo, et les polynômes U et V ne seraient pas premiers entre eux.
Supposons maintenant que U et V admettent unp .g .c .d. D ; nous allons montrer que D est aussi le p . ^ . c . d. de V et deR,
On a, par hypothèse,
(a) Us:l\D (3) VsV,D
U| et V, étant deux polynômes entiers, premiers entre eux. L'identité (i) peut donc s'écrire
U, — V,Q est un polynôme entier qui n'est pas identiquement nul; car si Ton avait U, — V,Q:so on aurait Rs:o et par suite les polynômes U et V seraient exactement divisibles Tun par Vautre. Ainsi R est divisible par D el les indentités (3) et (4) établiront que D, est lep. g. c. d. des polynômes V etR, quand nous aurons inontré que
V„ et (C,-V.Q),
sont premiers entre eux.
Considérons en effet un diviseur quelconque (x — a?o) de V , ; si (x — Xo) était un diviseur de U, — V,Q, a:2:a?» rendrait nulle cette fonction, et par suite U,, puisque V| s'annule pour xzzx^; or Uj et V| sont premiers entre eux; il en est donc de même de V, et de (U, — V,Q).
800. Redierehe da p. g, e. d* algébrique. Désignons toujours par U et V les deux polynômes proposés ; divisons U par V, soit R^ le reste obtenu; divisons V par R^ soit R, le reste de cette division; el ainsi de suite.
Deux cas peuvent se présenter : i* le dernier reste obtenu R^
est numérique: le p. g, c, d, entre U et V étant le même que ceux des polynômes
V et R,, R, et R„ ... Rp^^ et 11^
et ces derniers n'ayant pas de diviseur commun de la forme ax + by on peut conclure de ce calcul que U et V sont premiers entre eux. a* le dernier reste R est nul : dans ce cas le
p. g. c. d, entre I^^ et R^., est égal à R^., ; Rp i représente donc le p. g. c. d. cherché. On conclut de cette théorie la règle suivante :
liésto. Étant donnés deux polynômes U et V, on divise successivement: 1® U par V ; 2* V par le reste R^ de cette pi*emière
division ; 3» R, par le reste R, de cette deuxième division ; et ainsi de suite : ces calculs conduisent nécessairement à une division dont le reste est numérique^ ou égal à zéro : dans le premier cas U et \ sont premiers entre eux; dans la seconde hypothèse, ils admettent t<n p . g . c . d. qui est égal au diviseur employé dans la dernière division.
9911. Théorème. Lorsque deux polynômes V et\ sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deitx polynômes entiers, ix e^ v tels que Von ait
|i.U + vV = >,
£n effet les opérations que nous venons de définir dans renoncé de la règle précédente donnent les identités :
R étant un nombre. La première identité prouve que R» esl
de la forme algébrique aU-j-gV, a. et (5 désignant des polynômes entiers ; portons cette valeur de R^ dans la deuxième identité, on voit que R, est aussi de cette forme; et ainsi de suite. Toutes les quantités R,, R„ ... R ont donc la forme
algébrique (mlJ + wV) et Ton peut poser
RpSra'U-hp'V.
En divisant par R^, qui n'est pas nul et en posant
on a
I s: ;xU + vV ;
'X et V étant deux polynômes entiers.
k Théorème. Un polynôme qifi divise un produit de deux polynômes^ et qui est premier avec Tun d'eux, divise Vautre.
Soit P un polynôme divisant le produit U.V, de deux polynôiues U et V; je suppose que P soit premier avec V, je dis que P divise U.
En effets P et V étant premiers entre eux, nous venons de
reconnaître qu'il existait deux polynômes ;x, h vérifiant Tidentité
jjlP + vV=:i,
et, par suite, Tidentité
|aPU4-vVU = IJ.
Par hypothèse, le polynôme P divise VU; soit Q le quotient, on a
UVrsP.Q,
et, par conséquent,
P(liiU+vQ)=:U.
Cette identité prouve que U est exactement divisible par P.
3BO. Théorème (*)• Étant donnés dev^v polynômes U et\\ si Fan peut trouver deux autres polynômes P e/ Q, P étant d'un degré inférieur à V, et Q d'un degré inférieur à U, tels qu>e la relation
(i) PU-QV=:o,
soit vérifiéey M et\ ne sont pas premiers entre eux. La relation (i) donne
(,) i:^:^, ou u = v|.
1. Ce théorème* w iligâ été établi plus haut (§ 38i}; mais la démonstration que uous donnous ici offre un intérêt particulier, parce qa*elU' ei»t aflTrauchie de l'idée de décomposition d'un polynôme entier en fietcteurs. C'est cette démonstration que nousavoui* vitiAo en exposant, d'après M. Wnlorki. le théorème de d*AIembprt.
OD peut d*a illeurs supposer que Q et P sont premiers entre eux, car s'ils admettaient un diviseur commun D on pourrai! diviser les deux membres de (i) par D, Tidentité n'en subsisterait pas moins.
D'après Tidentité (a) P divise le produit VQ ; il est premiet avec Q, il divise donc V. Posons, d'après cela
(3) VsiP.e
et observons que P étant, par hypothèse, d'un degré inférieui à V, 0 est nécessairement une fonction entière de x, du premier degréy au moins.
Les identités (a) et (3) donnent alors
(4) UsQ.O.
Les relations (3) et (4) prouvent que les polynômes U et V admettent un diviseur commun 6, 6 étant un polynôme entier en ar; U et V ne sont donc pas premiers entre eux.
ABAISSEMENT D'uNB EQUATION QUI ADMET DBS RACINES ÉOALES.
400. Théorème. Si ol est une racine de multiplirifé p de r équation f{x)'z: o, elle est racine de multiplicité {p — i) de l'équation f{x)-=zo.
On a, d'après l'hypothèse,
(i) Aa;)s(a:~a)^^(a?),
f (x) étant un polynôme entier qui, pour xzzol^ prend une valeur différente de zéro.
L'identité (i) donne la suivante
Sipz=i, en d'autres termes, si a est une racine simple, on a
^{ji est donc différent de zéro^ puisqu'on a supposé ^(a)^o. Unsi une racine simple d'une équation n'' appartient jamais à *équati(pn dérivée.
Mais supposons, au contraire, />> i ; Tidentité (2) prouve |ue X est une racine de multiplicilé (p — 0' de Téquation f {x) = 0 ou une racine d'une multiplicilé supérieure. Pour tpie celte seconde hypothèse fût admissible il fiaudrait que le polynôme
devint nul, pourxna. Or, pour a; iz a, ce polynôme prend
la valeur p^ (a), qui est différente de zéro. En résumé a est toe racine de multiplicité (p — i), dans l'équation dérivée.
401I . Théorème. Si x est une racine de multiplicité {jl, de Téquation f (x) 1= o, ou elle n'est pas racine de Véquation f{x) zr o, ou celle-ci Vadmet avec une multiplicité égale à (ix-i- 1).
Si X est racine de. l'équation f{x) zz o, elle ne peut être qu'une racine multiple, puisque si elle était racine simple elle ne pourrait vérifier l'équation f {x) — o. Soit z son degré de multiplicité dans f{x):=:o\ z — 1 sera, d'après ce que nous ver ons de voir, le degré de multiplicité de a dans f (a?) ir 0. On a donc 2— i=:ijl, ou^:=:ii.+ i.
^Mt. Théorème. Si x est ufie racine de multiplicité p, de Véquation f{x) z=. o, elle est racine des équations
(1) f (a:) = o, r{x)z^^,...f^^''\x)-o, avec les degrés respectifs,
mais elle n'est pas racine de Véquation f^^^ {x) zz 0.
En effet x est racine de multiplicité (p— 1) de l'équation r (x) = o (§ 398). Cette propriété appliquée successivement aux équations (1) établit le théorème que nous venons d'énoncer.
