I. Théorème. Si Von a, simultanément

X est racine de mulUplicité p de Véqtiaiion f{x) zz o. Si, dans ridentité

011 pose,

zzzoL, el aH-/<zia;;

011 a, en tenant compte de Thypothèse,

f(j:)^^£:Z^ IfiP) (ai -h (X ~ a) f ''^ (a)].

Celle identité prouve bien que x est une racine, de multiplicité p, de réquatîon f{x) m».

SO^ Théorème. «S't râquaiion f{x):zo n'a pas de racines multiples, les polynômes f(x) et f{x) sont premiers entre eux ; sij au contraire f{x) rr « admet des racines multiples

a, b, c, ... l avec des degrés de multiplicité rejyrésentés respectivement par

f[x) et f*(x) ont un p. g. c. d, qui est donné par la formule

D =: (a; - a)''-* (x - bf"^ (x -c)'"* ... (x - /)*'-'. On a, par hypothèse,

( I ) f(x) zzP.iX'-af {X - bf (x — c)^ ... (a: — 1)\

P, désignant le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines simples. Prenons les dérivées des deux membres de cette identité et mettons en évidence le facteur commun à tous les termes^ nous obtenons l'identité

(2) r M =: (.r — a)*-* (x — bf"^ . . . (x — T/"* • V

LES RAaNES ÉGALES U7

Vs:aP,(j; — 6)...(x' — 0 + 6P, (a? — a)...(x— /) +

Ce polynôme V ne s'annule pour aucune des valeurs de x qui sont racines de l'équation proposée. Cette observation faite, les identités (i) et (2) prouvent que D est bien le p, g. c. d. des polynômes f(x) et ^ (^)-

Remarque. Si Ton pose, d'après une notation déjà indiquée (S 358),

le//, tj. c. d. enlre f{x) est f {x) est donné par la formule

Cette formule est générale et convient à tous les cas, si l'on convient, comme nous le faisons ici, que dans le cas où réquation n'a pas de racines de umltiplicité t, on y remplace P^ par t.

44iS». Reeherehe des racines éf^ales. Nous pouvons maintenant résoudre le problème que nous nous sommes posé plus haut et nous allons montrer comment on ramène la résolution d'une équation, à racines multiples, à celle d'équations n'ayant que des racines simples.

Soit posé

Si Ton désigne par D, le p, g. c. d, enlre f{x) et f {x) on a, comme nous venons de l'établir,

Soit D, le p. y. c. d, enlre D, et le polynôme dérivé Dj,ona

i),=p,(iv^..(ivA'

et ainsi de suite. On peut donc former le tableau suivant :

Da-isP,,.

Dans ces identités les premiers membres sont des polynômes entiers; ces polynômes sont connus et ont été calculés, comme nous Tavons expliqué. On peut aussi remarquer que dans la suite

f{x), D„D„ ... D^2, Dy^,;

chaque terme est divisible^ exactement, par le suivant et Ton peut poser :

Les divisions, indiquées dans les premiers membres, étant effectuées, on déduit de ces identités, les suivantes

Les divisions indiquées dans les seconds membres sont encore supposé^s effectuées, et la résolution de Téquation

proposée se Irouve finalement ramenée à celle des équations

qui n'admeilent que des racines simples.

410G. Exprimer qu'une équation a une racine double. Un problème qui se pose fréquemment, notamment dans la géométrie analytique, est celui qui a pour but de rechercher la condition que doivent vérifier les coefficients d'une équation donnée, pour que celle-ci admette une racine double.

L'équation étanf, sous la forme homogène,

ou a

? (a:,y) =: {a,x + b,y) {a^x + b^y) . . . {a^x -h b^jj).

Supposons que Téquation ^ (a:, i) =r o admette deux racines égales à a ; on a, dans ce cas,

Q désignant une fonction homogène des lettres x et y. L'identité (2) donne d'ailleurs

?x (^ . y) = ^ (x — ay) Q + (a? — ay)*Ox' et

©y (ic , y) = — ix [X — ay) Q + (a;— %yY Q^.

Les équations ?^ — o, 9yZ= o sont donc vérifiées par les valeurs a: — a, y zz i Cette propriété importante peut s'énoncer ainsi :

Soit f (x) := o une équation qui, rendue homogène, s'écrit s (j; , y) — o ; si x' est une racine double de f {x) = o, a est une racine simple des équations,

La réciproque de ce théorème est vraie. En effet soit 2 une racine simple des équations

<pi(a?,i)=:o et ç^^(a:,i)-().

on a, d'après rideiitité d'Euler (g 3o5)

m? {x y y) ^x^'^ [x , y) +- y^^'^ {x , y). Faisons a;= a, y =z i, on a

m?(a,i) rz u

et, par suite, /"(a) = u. Ainsi a est une racine de Téqualion proposée. Je dis qu'elle est racine simple de Téquation dérivée, f'{x) = 0.

En effet, (pi (a? . y) est identique à f (^), quand on y fait y=.i; or Ton suppose ^^(a,!) z= o ; on peut donc dire que a

est une racine double de Péquation /'(a?) =o (g 399). Application. Exprimer qjue t équation

admet une racine double.

On a^ dans cet exemple,

par conséquent

:('^{x,y)^inx'*^'+py"'-' el

?y (ir , y) = {m — 1 )i>^'y"* " + wy^ "*" ' •

Si nous appliquons le théorème que nous venons d'établir, nous obtenons les deux équations

(•i) (m* — 1 ) ^i X -h /ng — u qui ont une solution commune. L'équation (2; n'admet

itj iiuuiur» — : —

dition cherchée est

d'autre racine que le nombre — — ; par suite, la con-

LKS HACINES È(;ALES iïl

OU

Dans le cas parliculier où Ton suppose m = :)^ Téquation étant

la condition (A) devient

'I09. Remarque. On peut iacilement généraliser le principe que nous venons d'établir (g 4o6), et montrer que les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation f (x) zz. o admette la racine a à la multiplicité p sont

s (a?, y) désignant la fonction, entière et homogène, //V (-) •

On voit d'abord que ces conditions sont nécessaii'es en prenant successivement les dérivées des deux membres de l'identité

Pour reconnaitre qu'elles sont suffisantes, on peut s'appuyer sur l'identité

qui est une généralisation du théorème d'Euler, relatif aux fonctions homogènes.

Cette identité peut s'établir de bien des façons différentes; ou peut notamment la déduire du théorème d'Euler, de la manière suivante.

4o2 TRENTIÈME LEÇON

Les fonctions ?'(a?,y), <?' (:c,y) étant homogènes, et du degré (m— i), on a d'après le théorème d'Euler

(rn — i) 9Î: (x,y =: 0:9'^. (a?,y) -f- y?^ (x,y), et

(m— 0 (py (a;,y) =: X5^y (x, î/) -f yçyt (a;,y).

On tire de là, par combinaison^

(m-^ 1) (0:5; -h y^y) = x*^l. -h 2xy<fl^ -h y% et; par suite

m(jn — i)

Ceci représente Tidentité (H), dans le cas de /> z= 2. On ob tiendra Tidentité (H), elle-même, en supposant que la propriété est vraie pour les dérivées d'ordre (p — i), et en montrant qu'elle subsiste pour les dérivées d'ordre p.

*. En désignant par 9 (x,y) une forme homogène, cVx et rf'y, démontrer l'identité suivante :

On peut déduire celte relatiou des ideutilés

W? =: ar^^ -h y-iy m{nx—\) X* V . xy u . y' „

et de r égalité coonae

2 — i iz wH + •••

Ou peut aussi rétablir, directement, au moyen de la formule de Taylor

le , hk „

en y faisant A = x /{ = y.