Oeuvré de i*éqaatlon transformée. Si la formule
de transformation renferme k racines et si nous la supposons rationnelle, entière, et du degré 5^ en y ; le degré jx de Téquation transformée est, généralement, donné par la formule
\j. zz q , m [tfi — 1) ... (m — /r -j-' »).
Imaginons, en effet, un des arrangements kk k des m racines de l'équation /(a?) zzo : à cet arrangement correspondent g valeurs dej^. Le nombre total des valeurs de y est dono égal à q fois le nombre des arrangements des m racines groupées kl\ k; il est donc bien donné par la formule précédenlo.
THANSFORMATION DES ÉQUATIONS iSn
Nous examinerons surtout, dans ce qui va suivre, le cas où k:=z iy et celui où A? =r a; mais nous ferons observer que le problème 'général peut se résoudre et que cette solution dépend seulement du calcul connu des fonctions symétriques des racines de l'équation f(x) zz o.
Imaginons, en effet, toutes les combinaisons, kh k^ des ra* ciri6s tZ' j , ^|i ■•• "^,ft
L'équation en ?/
(i) R (.V, ,i\,J\y ... ./y H (.y, .r^, arj, ... Jr^.^^).., =0,
a pour racines les nombres cherchés, sans exception et sans répétition ; en d'autres termes, (i) est Féquation transformée. Le premier membre de (1) est d'ailleurs une fonction symétrique des racines ic,,ar„ ...a?„, ; en effectuant le
produit indiqué, et en appliquant les formules connues pour le calcul des fonctions symétriques, on aura donc l'équation transformée. On remarquera, ceci est une conséquence d'une propriété précédemment démontrée (§378), que les coefficients de la transformée sont des fonctions rationnelles de ceux de la proposée.
410. Définitions f^énéralesuNous adopterons les dénominations suivantes: la transformation est:
lo (Tordre k, lorsque la formule (A) renferme k racines ;
a» rationnellCy lorsque la formule (A) est Uy =z V, U et V étant des fonctions entières des racines;
y^ entière j lorsque Ton a yz^^{x)\^{x) désignant une fonction entière de a?;
f«* homographique, lorsque la relation entre x et y est
Axy + Ba?+ Cy H- D — o,
A, B, C, D désignant des constantes. Dans tous les cas, il est entendu que la formule de transformation n'est pas décomposable, identiquement, en facteurs rationnels.
41 1 . Théorème I. Dans une transformation rationnelle du premier ordre, r équation transformée est identique au résultant des deux équations.
Soit
réqualion proposée et
(2) y.^[x)=ifi{x)
la formule de transformation. Désignons par a?,, x^. . x^ les m racines de (i); Téquation cherchée est
Nous avons vu (% 389), que le premier membre de celle équation est identique au résultant des équations (1) et (3}. On pourra donc, dans ce cas^ effectuer la transformation par Tune ou Tautre des méthodes qui ont été indiquées (leçon 29), pour former le résultant de deux équations.
411 9. Théorème II. Une transformation entière^ définie par les deux équations
f{x) étant du degré m, et ? {x) d'un degré p^ supérieur ou égal à m, peut toujours être ramenée à la transformation
^ (x), désignant une fonction entière j dont le degré est inférieur à m.
Soit posé
f {x) =: x'" — Ax'""^ — Ba-*"-- ... - Il . On a donc
par suite
OU
x"*-^' =(A' + B)x'"-' + (AB + C)a;"*-- + ... 4- AH.
On peut ainsi calculer, de proche en proche, a;"*, x^^\ a;"*^", ...; les expressions de ces quantités élant des fonctions entières, du degré (m — i), en x. Il résulte de cette remarque que y, qui est une fonction entière de or, pourra toujours s'exprimer par une formule ne renfermant aucune puissance de Xy supérieure à (m — i).
413. Théorème III. Une transformation rationnelle ^ du premier ordre, définie par les équations
y.U — Vno,
peiU toujours être ramenée à une transformation entière^ toutes les fois que les polynômes V et f (or), sont premiei^s entre eux.
Les polynômes U el f{x)y étant premiers entre eux, on sait (g 397), qu'il existe deux polynômes entiers [jl, v, tels que l'identité
li./'(a:)-f-vUs: I,
soit vérifiée. On a donc
ou enfin
Considérons maintenant la transformation entière définie par les formules
f (x) zz o, (2) Y=:vV.
En appelant x^y o:,, ...j?,^, les m racines de f{x)zzoy on
a, pour y el Y, des valeurs correspondantes !/<, J/., ... y,« ;
Y,, Y„ ... Y^ ; d'ailleurs les égalités (i) et (9.), donnent
L'équation en Y est donc identique à Téquation en y et c'est ainsi que Ton peut ramener la transformation fractionnaire, à la transformation entière, dans le cas où il n*y a pas de diviseur commun à /"(a;) et à U ; c'est d'ailleurs le cas général.
41141. Théorème l¥. Toute transformation entière, teffe f/ue relie q^ii correspond aux équations
(i) /•(.r;=x'"--Aj?'"-*...— Hno, (•0 y- 7.x'''' + rs.r'**-' -h ... -^ A»
peut toujours être remplacée par une transformation fractionna tre définie par les deux équations
[ ' ^^ V, désignant des fonctions entières dont les degrés ont unf somme égale àm; Vun de ces degrés étant d'ailleurs arbitraire. On à en effet
.ry zr xr"' -f- ;!?:*"" ' H- ... 4- a.'\
ul, par conséquent,
V, étant du degré m — 1 , et 1 1, du degré 1 . On a, do même,
.r*// =(3 -H 3iA) x'" -h ... 4- Wxv ou
(4} .r**?/ r: (,^ -h aA) rA./'"-' -^ ...-+- H) -+.... h- x\\x.
TKANSKOUMATioN DES ÉQUATIONS 43
Le second membre de cette égalité est, généralement, un polynôme du degré (m — i) en a?. Mais on a
Substituons cette valeur de x^^\ dans (4) et nous avons
V, désignant une fonction entière du degré (m—:?), et U, un trinôme de second degré. Le raisonnement précédent peut être poursuivi indéfiniment; le théorème en question est donc établi.
41S. Théorème. Lorsque Véquation qu'on transforme pst du troisième degré, une transformation entière ^ du prc- 7nier ordre, peut toujours être remplacée par une transformation homographique.
Soit
f[x) — x'' — ax' — hx — c — I», l'équation proposée, et
(i) y :=: mx'' -h nx + j),
la formule de transformation.
On a d'abord
(2) xy zz m {ax^ -hbx-\- c) + 7ix' -H 2^^-
Si Ton a wa + n — o, la formule précédente est celle d'une transformation homographique; si Ton suppose au contraire ma 4- w ;zf o, on peut éliminer x^ entre (*) et (ti), et la relation finale, entre x et y, est homographique.
41 G. Remarque. L'avantage de la transformation homographique ressort de la remarque suivante. F^a relation
Axy-h Bx + Cy 4- 0 — o donne
A?/+ir
réquation transformée s^obtient donc immédiatement en écrivant la relation
Cy -f D
Ay + B,
419. Transformatioiis rationnelles do second ordre. Ces transformations sont définies par les trois équations
La transformée est du degré , et peut s'obtenir par
la méthode générale indiquée plus haut (§ 409}- Dans la pratique, et pour éviter le calcul, ordinairement pénible, des fonctions symétriques, on cherche la transformée en éliminant x^ etj-,, entre les équations (i), (2) et (3). On obtient ainsi une équation R {y) = o qui, après une simplification que nous allons signaler, représente, en général, Téquation cherchée.
La nécessité de la simplification dont nous voulons parler tient à la présence, dans l'équation R (y) iz o, des facteurs
dont le produit 6, donne une fonction symétrique des racines de réquation donnée f[x) zz o. Il résulte de là que R (y) est décomposable en deux facteurs rationnels et que réquation
cherchée est (— ^) = 0, ou une équation d'un degré infé-
rieur S (y) =: 0 ; S (y) désignant un certain diviseur de ( -^-^ I.
On évite Tintroduction du facteur 6, en remplaçant Tune des équations (1) ou (2), parla combinaison
TRANSFOHMATION DES ÉQUATIONS 461
le premier membre da celte équation représentant une division effectuée.
Nous devons faire remarquer ici que la méthode que nous venons d'indiquer, pour obtenir la transformée par Télimination des lettres x^ et x^, ne donne pas toujours cette transformée. Comme nous l'avons observé tout à Theure, le premier membre de l'équation cherchée peut, dans certains cas, être un diviseur du premier membre de l'équation obtenue. Ceci tient à ce que Tonne sait pas, en général, éliminer deux paramètres, entre trois équations, avec la certitude de ne pas introduire des facteurs étrangers.
Lorsqu'on emploie la méthode par élimination, on doit toujours s'assurer que le résultat obtenu n'est pas d*un degré supérieur à celui que Ton peut calculer, à priori^ d'après la formule de transformation. Ce degré est w (m — i), dans le
cas général ; il n'est plus que — ^ lorsque la transfor-
malion est entière et symétrique ; c'est-à-dire lorsquelle est définie par la formule
la fonction entière 9, étant symétrique par rapport aux lettres
Applications.
