ÉQUATION AUX CARRÉS DES DIFFÉRENCES
^18. Equation aux sommes deux A deux. Cette transformation est définie par la formule
(i) yzzx' \'X\
x' et af étant deux racines quelconques de l'équation f{x) z=. o. Considérons seulement le cas où f{x) — o est une équation du troisième degré; et soit
f{x) s: j? -hpx' -h qx h r.
i62 TRKNÏE ET UMKMË LEC.ON
Désignons par x la troisième racine de Téquation f (x) — •»: on u
j: -hx'-\- af zz — p
el, par conséquent,
y =. — yy — X.
La transformation proposée se trouve ainsi ramenée au premier ordre ; Féquation transformée est
h) r -+- '^py* '•- (p' -^(j)y + (pq — n = »•
41 0. Remarque. La transformation des équations permet, dans certains cas^ de calculer commodément certaines fonctions symétriques des racines d'une équation donnée. Ainsi, de Téquatîon que nous venons d'obtenir, et de propriétés connues^ on déduit immédiatement qu'en désignant par fty hj t'y les racines de Téquation
et aussi
x^ -hpx* H- qx -h ^' — i»
(a -+-b)(a -{- c) [h -h c) zz r — pq ;
a -{-b o-hc c -j- a r — pq
ÈitO. Élquation aux «Mirrési des dlffêrenee«(. Soieul x' et x*^, deux racines quelconques de Téquation f {xj n o; si nous posons y zz {x' — x^)*, Téqualion en y, F (y) zz «, que Ton obtient par cette transformation est dite équation aux carrés des différences. L'importance de cette équation résulte du théorème suivant :
Théorème. Pour qu'une équation f{x) zz o ait toutes «e» racines réelles, il est nécessaire et suffisant que Véquation (iw cairés des différences soif complète, et n'offrt que des variations.
On voit d'abord facilement que si Téquation f(x)zz»^ toutes ses racines réelles ; F (y) — o est une équation complète^
TKAXSKORMATION DFS KQL'ATIONS i«:{
qui n'offi*e que des variations. En effet soient a, 0, deux racines de l'équation /*(a?) ir o, la quantité positive {a — b)\ est alors une racine de Téquation F {y) = o. Si nous désignons par a, 6, Y, ... les racines de celte équation, et par [i. son degré, on a
ou
Les nombres a, 6, y, ... étant tous positifs, on voit que les expressions Sa. Saê. ... sont des sommes de quantités positives : ceci montre bien que l'équation
yV- Vay!^-» + Saeyl^-- ... = o,
est complète, et n'offre que des variations.
Je dis maintenant que réciproquement : si F (y) — o est une équation complète et si elle n'offre que des variations, 'équation /*(a?) ir o a toutes ses racines réelles.
En effet l'équation f{x) ■=. o ayant ses coefficients réels ne peut avoir une racine de la forme a -t- 6î, sans admettre aussi la racine conjuguée a — 6j. Parmi les différences des racines, combinées deux à deux, se trouve en particulier la suivante
(jc + ^ij — (a — Éi'j'
différence qui est égale î».^/ ; par suite, — 4^* est une racine de l'équation F {y) iz o. Or l'équation F ( — 2^) z= o n'offre que des permanences si nous supposons que F (2/) = o est une équation complète n'offrant que des variations ; il est donc impossible que F {y) r= o admette une racine négative, telle que — 4 k''
4161 . Kx.priiiier qu'une équation a une racine double. Nous avons déjà répondu à cette question (§ 4o5); mais nous voulons montrer qu'elle peut aussi être résolue par le moyen de l'équation aux carrés des différences. On remarque en effet que la condition nécessaire et suffisante pour que Tt»qiiaiion f{x) — o ait une racine double^ est que Véquaiion
aux cannés des difTèrences F (y) — o, ait son terme tout connu égal à zéro.
Nous allons indiquer ici un moyen de calculer ce terme.
Soient a;,, a?,, ... a?^ ; les m racines de Téquation f(x)zio:
X,, X,, ... X,„, , celles de Téqualion r (^) = «. On a,
f(x) = {x — x,) {x - x;) ... (d? ~ xj,
/^ (x) = wx'"-* + ... = wi (x— X,) (JJ— X.) ... (a; — X^,).
On a, d'autre part,
/^ (a;) =: S (a? — j;,) ... (j; — xjy et, par suite,
/ (^1 ) ^^ (^1 x^) ..,[Xi — x,,^).
Multiplions ces égalités, nous avons :
Mais on a aussi
r (a:,) r (x,) ...r{xj = «r (a^, - X.) {X, - X.) . . . (X. -X^,)
{x„— X,) (x^ - X,) ... (ar^ — ^M-i)»
ou encore
r(x,)r(x,)...r{xj.- ±m'"{\,-x,)(\,-x,)...{\,- xj
(X, - a;,) (X, — x.) ... (X.- xJ
On a donc, finalement,
±(a:.-a;.)*(a;.-a-,y...(x-,„-x^,)*-flrAX,)AX.)"AX-i)-
Dans cette égalité le premier membre représente le terme tout connu de Téquation aux carrés des différences; le second membre est une fonction symétrique des racines de l'équation dérivée ; fonction qui peut s'exprimer, rationnellement, au moyen des coefficients de Téquatîon proposée.
Le terme tout connu de Téquation aux carrés des différences présente un intérêt particulier dans le cas où l'équation f(j-) = o est du troisième degré ; nous allons en donner le motif.
. Théorème. Pour qu'une équation du troisiètne degré ait ses trois racines réelles^ il est nécessaire et suffisant^ que le terme tout connu de Véqtialion aux can'és des différences ait un signe contraire à celui du premier terme. Soit (i) f{x) — o, réquation proposée et soit
réquation aux carrés des différences; nous allons montrer que la condition nécessaire et suffisante^ pour que réquation f{x):=. o ait ses trois racines réelles, est exprimée par l'inégalité V < 0.
Il est d'abord évident que Ton a y < «> lorsque les racines de réquation donnée sont réelles; car en appelant y, y^ Vt les racines de l'équation (2), on a j/, ^, y, zz — y; d'ailleurs y,, y, et y^ sont des nombres positifs, on a donc bien y < (*•
Supposons maintenant que réquation (1) ait deux racines imaginaires ; soient
x', a-\-bi, a — bi,
les trois racines de cette équation ;
(x' — a - biy, {x' — a 4- bi) ', (26//,
sont les racines de (2). On a donc
Y zz ~ {2biy[{x' — ay -h b']\
i6ti rKENTE ET UNIEÎiïE LEÇON
OU
Vrz-t-4ô'[(j^'-ar+^f
Ainsi^ daus le cas des racines imaginaires on a y > o. De ces remarques, on déduit le théorème énoncé.
4198. Équation aujL diiléveiiees. Prenons Tei^ réduite du troisième degré
a' ■+-px + g z= o,
ut proposons-nous de transformer cette équation par la foit^ mule
is
Le calcul peut être dirigé de la manière suivante. I (
Des relations ^
on déduit
On a d'ailleurs
el, par suite, en combinant (i) et (2),
(3; :\x'x"zz—p^y\ et aussi
De ces deux égalités^ on déduit la suivante on a d'ailleurs, en désignant par x, la troisième racine,
