A) et (B) éliminons a-, on a |ii enfin

1 41S4. Remai^ae. L'équation aux différences est du dekéw (m— i); mais, pour une raison évidente^ elle présente ï particularité de n'avoir aucune puissance impaire de z. En |d. kXi y* zz Zy l'équation en z est précisément l'équation aux ^l'S des différences. D'après ce que nous avons vu plus * va 4^1 et 422), il résulte de (C), que V équation

X' -4- px -+- y rz o, \a une racine double qiumd on a 1 4/>* ■+- 27^* = <» ,

\ quelle a ses trois racines réelles quand un suppose

l seulement dans celte hypothèse.

49S. Équation aux prodiiiUi deux Ék deux. Dans le IIS du troisième degré> Téquation proposée étant

t'/' -h px' + y^f -h r zz 1»,

I formule de transformation,

yzzx'x\

lonne

xy zz — r.

Par suite, Inéquation transformée est

Eu général, le degré de la transformée est —

419B. Équation aux quotients deux dà deux . Considérons réqualion du troisième degré, privée du second terme,

(i) jr'-hja-^qzzo,

et proposons-nous de transformer cette équation, en prenant, pour formule de transformation, la relation

On remarquera, d^une façon générale, que dans celte transformation, l'équation obtenue F(y)=:o ne peut pas avoir la

rac-ine^,, sans admettre aussi, pour racine, la quantité ia-

x" verse — . Nous nous occuperons, dans la prochaine leçon, de

ces équations remarquables, équations que nous nommerons réciproques et qui jouissent de la propriété d'admettre simul-

tanément les racines a et-. Pour le moment, nous voulons

seulement faire remarquer (ju'en posant

x' JL^

Téquation en z nu peut être que du troisième degré", si réqualion f[x) zz o, qu'on transforme, est elle-même du troisième

degré. Généralement, le nombre des valeurs de z est — ^ *

si f{x) zz o est du degré m. On doit aussi observer, qu'après avoir calculé la transformée en z, on obtiendra la transformée

en f/ on remplaçant, dans la première, z par y r -•

THANSFOll.MATKïN DEB ÉQUATIONS 469

Appliquons celte remarque à l'équation (i), el cherchons d'abord la transformée en z.

En désignant par .r la troisième racine, et en tenant compte des relations

on obtient

ou encore De cette formule de transformation on déduit

l'équation en z est donc

La transformée en y s'obtient, comme nous l'avons remarqué tout à rheure, en remplaçant j par y -f- -; cette transformée est

EXERGIGES

I. Démontrer qup ai ton romidère Véquation génAraU duiraiftièmê (Ugrê,

.r' -h px- -h qx 4- r rz o,

r^qualion nu.r carréfi des différence» exl

+ P (4/>V — iH^rr — ;>//•) z: o ;

et vérifier que le» deux inégalités

rentrent l'une dans Vaub*e.

C Transformer V équation

/>^r /<! formule

y zz a* — bc ;

a, hf ^, désignant les trois racines de Véquation proposée , Déduiref du résultat obtenu^ la résolution de téqualion du troisième degré.

flans le cas partinilier o» Fune des racines est moyenne géométrique entrt

les deux autres.

On trouvera d'abord qnc )a transiforuiation OBt homographiqiio^t qu'elle

correspond à la formule

léP r«^8nltat est

y' - y' ip' - ;»?) -Qip' - %) y-hq'-p'r = «.

9. Transformer r équation générale du troisième degré par la formule

y :r:a* -h bc.

Loî* notations précédentes étant conservées, on trouve

y"- y' {p"-q) - y {Q^-CW+pVj - ^'+ ^W ^/>V4-8r' := «■