COMBINAISONS AVEC RÉPÉTITION OU COMBINAISONS COMPLETES

^S. Définition. Étant données m lettres a, b,... l, si Ton prend p de ces lettres, certaines d'entre elles pouvant être répétées plusieurs fois, on aura formé une combinaison des lettres données, prises p àp et avec répétition.

Ainsi, ab, ac, bc sont des combinaisons simples des trois lettres a, b, c prises deux à deux; ab, ac, bc, aa, bb, ce représentent les combinaisons complètes de ces mêmes lettres prises deux à deux. Nous désignerons par y^ le nombre des combinaisons avec répétition de m lettres données prises p k p. Dans la notation Cj^, on a forcément p.^ m; cette condition n'est

ANALYSE COAIBINATOIRE 21

plus nécessaire pour les combinaisons complètes ; on peut avoir, avec celles-ci, p > m. Par exemple,

a. a. by a. ci. a, a. b. b, b, b. b.

sont les combinaisons complètes de deux lettres a eib prises trois à trois.

««. Théorème. Les deux nombres 7J,, vîîr' *^^^ ^^^* P^^ ^^ relation de récurrence

(10) vP - rn-hp-i «-,

La démonstration que nous allons donner repose sur cette idée évidente, que si, dans un tableau donné on compte une lettre a par deux voies différentes, mais toutes deux exactes, les deux nombres ainsi trouvés sont égaux.

Considérons, par exemple, la lettre a : elle entre dans le tableau .^ un nombre de fois que nous désignons par x. Le nombre des lettres renfermées dans ce tableau étant p Y^ et chacune des lettres y entrant un même nombre de fois,

on a

D'autre part, on peut encore compter la lettre a d'une autre façon, en séparant, par la pensée, les termes de y^ en deux

parties : la première formée de tous ceux qui ne contiennent pas la lettre a ; l'autre, au contraire, de tous ceux qui renferment cette lettre, une fois au moins. Imaginons que Ton écrive ce second groupe en mettant a en facteur commun et appelons P Tensemble des termes qui se trouveraient ainsi placés dans la parenthèse. On peut facilement observer que P représente, sans exception et sans répétition, tous les termes de la

famille v^*. Sans répétition, parce que, en supprimant le facteur a dans ces combinaisons, qui ne sont pas identiques, les résultats sont aussi différents ; sans exception, car s'il

manquait dans P un seul terme de y^TS ^n imaginant ce

terme absent et en lui ajoutant le facteur a, on aurait ainsi un terme de ï^ qui n'eût pas existé dans la parenthèse P.

D'après la formule (ii), la lettre a est répétée — ./"' dans P.

Mais pour former P, on a supprimé aux termes de Ym autant de fois la lettre a qu'il y a de termes dans P ; c'està-dire ï^*fois ; on a donc

7n ou

En comparant (it) et (la), on trouve bien la formule annoncée.

5BV. Formale des €N»inbiiialsoiis complètes. Si Ton

applique le théorème précédent successivement aux nombres

p-, yn-^p-^2 P-.2

En multipliant ces égalités membre à membre, et en remar-

quant que yJ» = /w, on obtient la formule des combinaisons complètes

qui donne lieu à l'énoncé suivant ;

Théorème. Le nombi^e des combinaisons complètes de m lettres groupées p à p s^ obtient en divisant par le produit des p

ANALYSE COMBINATOIBE 23

preiniers nombres entiers, le produit des p nombres entiers consécutifs croissants, dont le premier est égal à m.