Transfonner l'équatwn
x^ -h /7.r* -h ^J? 4- r = o, por to fnrmuh
Le résultat est
ry"" ■+- y" (g -f- ;>r)+y (p—>^ pq + r^) -h (/)— r)*-f- (g — i )' n o.
On peut déduire de cette équation diverses conséquences; parmi elle^. nous signalerons Tidentité suivante :
(«•+ 1) (ô'-f-i) (c' + \):^{a-Jt-h-^r'-ahcY-h{ah^ac\rbc-i\
iO. Qu'arrive t-il pour Véqualion nu.r quotients deux à deux, quand Us proposée a une racine double ?
Si f{x) =r o a deux racioos ôi<alos a?', a?"; los quolienls — ol — devien-
neDt égaux à TuDÎtô ; la traneform/^} aux quotients deux à deux a donc
deux racines égales à l*nnité.
Si dans les ôquations en z et en ;/ (§ |j6}, on fait y =: i ou r =: a on trouve
CTest bien la condition trouvée plus haut (S 4^») pour exprimer que l'éqaation .r* + p.T + ^ :i= o a une racine double .
Généralement, si l'équation /" (x) = o, a (i. racines égales, la transformée aux quotients a (i. (ji— i) racines égales à l'unité.
4W. Définition. Lorsque le premier membre d'une éqaalion f{x) = o, peut être décomposé identiquement en facteurs rationnels, de telle sorte que Ton ait
(i) /•(j')=:9(a?)'Mx)...y.(a?),
la résolution de cette équation est ramenée à celle des équations d*un degré plus simple,
Nous exprimerons ce fait en disant qu'on a abaissé Téquation donnée.
Cet abaissement des équations se produit dans plusieurs circonstances et notamment^ comme nous allons le reconnaître, quand il existe entre les racines de l'équation proposée, une, ou plusieurs relations connues.
Les équations (a) ont des degrés respectifs 2,^, ...X qui vérifient la relation
m désignant le degré de l'équation donnée. Ces nombres, a, ^, ... A définissent l'abaissement dont cette équation est susceptible.
4168. Théorème. Lorsque deux racines particulières x\ y de Véquation f{x) zz o du degré w, vérifient la relation \}, {x\ j?" ) — o ; Véquation peut être abaissée ; sa résolution étant
ramenée à eellea de deux équaliom du premier degrés d'une part; et à celle dune équation du degré [m — :«), d^ autre part. Nous supposons que les trois relations
sont vérifiées; on peut dire d'après cela que les deux équations
ont une solution commune, xz=,x'\ par suite le résultant de ces équations est nuL Soit R (.T^), ce résultant : les deux équations
fix) = o, R (x) =1 o,
ont une solution commune, x z=. x" . Il existe donc un polynôme D {x) divisant exactement f[x) etR(ir). Ce diviseur commun étant calculé parla méthode connue (§396), en désignant
fix^ par Q (a?) le quotient Trr\ . on a
Nous avons ainsi établi que Téquation proposée est susceptible d'abaissement; mais il nous reste à définir cet abaissement.
Nous supposons que la relation (3) n'est vérifiée que par deux racines particulières. Il résulte de cette hypothèse que si l'on suppose que of est un nombre donné il n'y a qu'/o* seul nombre x' vérifiant les égalités (t), (a) et (3). Le raisonnement précédent et les calculs que nous avons indiqués conduisent donc à un polynôme D (o:) du premier degré.
D'ailleurs les équations
admettent une racine commune x — x" ; les polynômes R {x), Q (a?), admettent donc un diviseur commun E (o;), et l'on peut poser
4ni TRFATK-l)ErXlh:.\IE LFXON
On voiU en raisonnant comme nous Pavons fait tout à rheiire, que E [jt) est nécesairement du premier degré en x et Ton a finalement
/•>:=:I)(x)E(x)Oi(x):
D (x) et E {jr] sont du premier degré, par suite Q, {x) du degré {m — •>.).
499. Remarque I. Si la relation \i [x'x") = o est symé- Irique par rapport aux lettres x' dx^ Téquation qui fournil ./•'doit donner aussi x\ Dans ce cas particulier, rabaissement obtenu par la méthode précédente est défini par deux équations rationnelles dont les degrés sont 2 et (jn — 2).
430. Remarque II. Lorsque la relation 9 {x', x'')zzo est vérifiée pour p groupes de racines combinées convenablement deux à deux, le raisonnement que nous venons de feire (*onduit aux conclusions suivantes :
1° Si [j. {x', x" ) n'est pas une fonction symétrique des lettres ./••, .z", rabaissement est défini par deux équations du degré ;) et une troisième équation du degré w — ap.
2« Si \L (.r', x") est une fonction symétrique des lettres *r'x', l'abaissement est défini par deux équations seulement; Tune du degré 2 p, l'autre du degré m — 2p.
De celte dernière remarque on conclut qu'il n'y a pas abaissement effectif, dans le cas où la relation ix(x',.r'')z=o est symétrique, et a lieu pour p groupes de racines, associées deux à deux; l'équation proposée étant du degré 2 p.
431. Théorème. Si trois racines particulières x\ x" ^x" iVnne équation du degré m, f [x) zz 0, vérifient la relation \}. {x\x'\ x'^)zzoyOn peut abaisser V équation; les abaissements étante généralement^ définis par les tableaux suivants:
(1, 1, 1, m — 3), ou (1. îî, m — 3), ou enfin (3, m — 3).
On a, par hypothèse,
(0/(.r')=n, {9.)f{x")zzo. (3) /-(a-'^j-o, r{);jL{.r',jr%jr-)-o. .Éliminons x' et x" entre les équations (1), (2) et (4). On
obtient entre les coefficients donnés et la racine x"' une relation que nous désignerons par R(x'") — u. Considérons maintenant les deux équations
elles admettent une racine commune x — .//' : par suite, les deux polynômes f {x) et R {x) admettent un diviseur commun D (a) et Ton a
l) [x) est, généralement, un polynôme du premier degré, si la forme i^Or', x^x'") n'admet aucune symétrie, comme nous le supposerons d'abord. Dans cette hypothèse on peut trouver deux autres facteurs rationnels du premier degré au polynôme f{x), en cherchant le plus grand commun diviseur des polynômes
f{x), et iiix).
On remarquera d'ailleurs que Ton a les relations
nx')zziu Q(x') = o;
et aussi les suivantes
D'après cela il existe aux polyaôm3S f\x) et Q [x) un diviseur commun qui est, généralement, du second degré. Ce diviseur est d'ailleurs décomposable en tacteurs rationnels du premier degré, puisque les racines x-', j/' peuvent être obtenues, comme la racine x"", par des équations rationnelles du premier degré. Dans ce cas, rabaissement est défini par les nombres i, i, i et {m — 3).
Lorsque la forme i* (a;', x'^ , x") est symétrique par rapport aux lettres x' et x\ Téquation du second degré, dont nous parlons ici, ne sera plus, en général, décomposable en facteurs rationnels, et rabaissement est défini parles nombres i, 2 et {m — 2).
i78 rilENTE-DEUXIÈME LEÇON
Enfin si la forme ;j. (.r', a", x") est symétrique par rapport aux trois lettres x'y j?", x"^; le calcul indiqué conduit, généralementy à une équation de troisième degré dont les racines sont> précisément, les nombres x'^ x" et j;*". Dans cette hypothèse, rabaissement est défini par les nombres 3 et (m — 3).
EQUATIONS RECU>ROQUES
439. Défliiiiioii des équations réefproqaes. On peut encore abaisser une équation lorsque^ comme dans les cas (jue nous allons examiner, les coefficients de cette équation présentent certaines particularités. Nous avons déjà donné i.leçon i3) des exemples de cette sorte d'abaissement lorsque nous avons ramené la résolution d'une équation du quatrième degré, à celles d'équation du second degré. Nous avoo> cité, à ce propos, les équations réciproques du quatrième degré comme étant des équations quadratiques. Nous revenons ici sur ce sujet pour examiner maintenant les équations réciproques d^un degré quelconque : nous définirons d'abord ces équations remarquables. Soit f{x) = o, l'équation proposée ; nous supposerons, dans ce qui va suivre, que -|- i el — 1 ne sont pas des racines do cette équation ; s'il en était autrement, si Ton avait /(i) — u, ou /*(-- Tjnio, on commencerait par déban-asser /"(x) des fecteurs (^•— i) ou(.r-i- i\ qui seraient diviseurs de ce polynôme.
Cette réserve étant faite, nous nommerons équation réci proque celle qui a leif niémes racines que P équation aux if* verses.
Les deux équations
na; = .. f[^)=o,
ayant les mêmes racines, m étant le degré de f {x\ on doit donc avoir
;i) /-(.rri/a'V^;.).
Nous ferons d'ailleurs remarquer que Ton a X = i . En effet ridentitc précédente donne pour x:=n, l'égalité
et comme l'on suppose /"(i) ;zf o, on a bien X z: i.
^133. Théorème. Le degré d'une éqtiatton réciproque est toujours un nombre pair.
L'identité ( i ) donne
A-i)=A(-iyY(-i;
ou
Mais on a prouvé que X était égal à l'unité ; celte égalité montre donc que m est un nombre pair.
484. Théorème* Datis une équation réciproque les coeffi- L'ients, également éloignés des extrêmes^ sont égaux et ont le tnéme signe.
En effet si nous posons
r^x) = A^-'" + A.^r"*-' 4- ... -h A,,,,.f -f- A„. ; on a
u-Y(^i) ^ A„/"4- A,,jx-+ ... 4- A,r + Ao. Nous venons, d'ailleurs, d^établir Tidentité
nous avons donc
Au rz A,^^ A, z: A^^^^p etc. . .
La réciproque est évidemment vraie ; de Tidentité f{x) =: AoU.-"'' + A,^--''"' -4- ... 4- A^a'' 4- ... + A.o; 4- Ao un déduit
<(i8&. Tliêor<6nie* Dafis utie équation réciproque, les ru cines sont, deux à deuu:, inverses l'une de Vautre. Si f{j:) =0 désigae une équation réciproque, on a
Soil a uue des racines de l'équation f{x) — o, Tidentité [\i donne
mais on suppose
on a donc
(.) = Va(1);
ou encore
Ainsi - est une racine de Téquation proposée.
43B* Thêor^oie. Vne équation réciproque, du degré j ^qest susceptible d'abaissement ; sa résolution pouvant être ramenéf à la résolution simultanée d'une équation du degré q, et de q équations du second degré.
L'équation proposée est
AoX-''-+- \,x-'^-^ -h ... 4- A,^x' 4- ... -f-A,.f-hAo :::: <N ou
A.('"+j,)+A,{..-'+5ri)
En posant
on a
(i) A«V^^-f.A,\;^j-}-... + A^iro.
Nous avons vu (§ i46) que V pouvait s'exprimer au moyen
d^une fonction entière en y, du degrép. L'équation précédente sera, d'après cela, du degré g en y ; soient y,, y„ ... ^q ses q
racines. La résolution de Téquation proposée se trouve ainsi ramenée à celle de Téquation (i), et des q équations du second degré
