X- -^ij^x-hi rz
439. Équations réciproques {Sem yénéral). Les équa* lions qui viennent de nous occuper peuvent èlre considérées comme un cas particulier de réquation suivante :
: I ; A^-^ + A,^-'^'"' -f-. . . 4- A/' -h ^A,^,/'" ■ -4- Aj^A,^,y '-h . . . -hfc''"**A,J--+-ft''Ao-o.
Cette équation présente la particularité de rester identique
A; à elle-même quand on change r en-. En supposant ^ =: i,
on a une équation réciproque, dans le sens ordinaire du mot.
L'équation (i) est susceptible du même genre d'abaissement que réquation réciproque ordinaire.
Écrivons-la sous la forme suivante :
puis posons
Entre les trois fonctions VV' \V„ ,,\V„ ^ existe une relation
^d2 TRENTE-DEUXIÈME LEQON
de récurrence, et Ton vérifie immédiatement Tidentité
Cette relation permet de calculer, de proche en proche, les fonctions W„ W,. ... ; sachant que Wo :ii 2 et que W, =y ; elle montre aussi que W^ est une fonction entière de y, du
degré p.
De ces remarques diverses, il résulte que les équations réciproques, dans le sens général que nous attribuons ici à œ mot, se traitent comme les équalions réciproques ordinaires et sont susceptibles du même genre d'abaissement.
438. Remarque I. Les équations réciproques (sens général) peuvent être définies par Tidentité
On détermine X en remplaçant x par v/Â, ce nombre ^h n'étant pas, on le suppose du moins, racine de Téqualion f{x)zzo; celle-ci ayant été, au besoin, débarrassée des foeteurs {x* — k). On trouve ainsi
ou
L'identité ( 1 ) devient alors
11 résulte de cette identité, que si x' est racine de Téquatiou f{x) =: 0,-; est aussi racine de cette équation.
On peut, d'après cette remarque, ramener les équations réciproques (sens général), aux équations réciproques (sens
ordinaire). Il suffit de remplacer x par — .
4139. Remarque II. On peut encore abaisser Téquation f{x) zz o lorsque ses racines se séparenf , deux à deux ; les racines de chacun de ces groupes vérifiant une relation bomograpbique en involution.
Soient x' et a;" les racines d'un groupe; supposons que, A et B étant des constantes données, on ait
x'x" + A (x' -f-^) + B no, ou
Nous supposerons A' — B, différent de zéro ; car si Ton avait A' — Bizo, ~A serait racine de Téquation proposée et Ton débarrasserait celle-ci des facteurs (a? -h A), autant de fois que la division par (j7-f- A), serait possible.
Supposons donc A' — B ;zf o, et soit k' — Bzzk. En posant
\, zzX, l'équation, transformée par cette formule, sera
réciproque.
4L^ËO. Remarque lil. Nous avons supposé dans le paragraphe précédent que la relation homographique renfjrmail nécessairement le terme en itV; il nous reste à examiner le cas particulier où Féquation homographique est privée de ce terme et affecte la forme
0?' -hx -h'rzzo, A
On remarquera que cette relation peut s'écrire
kH\ TRENTE-DEUXIÈME LEÇON
et en transformant Téquation proposée f{x) =: o^ par la formule
réquation transformée aura ses racines, deux à deux, égales et de signes contraires. En posant X* =: ^ on aura donc finalement, une équation en y du degré q ; si f{x) est un polynôme du degré 2q.
