Kquatlons binômes. Les équations binômes, telles quo
peuvent se résoudre, complètement, parle moyen des tables trigoiiomélriques. Nous ne voulons ici que signaler rabaissement dont elles sont susceptibles quand on cherche à les résoudre par des signes algébriques.
Si l'on suppose que m soit pair, et égal à 'Aq, ridentité
^•*v- is:(a''-.i)(x''-f.i)
ramène la résolution de Téquation proposée, à celle de deux équations du degré q.
Si m est impair, et égal à -^q-h i, on remarquera que Ton a
Un doit alors résoudre Téquation
qui est réciproque : elle peut, comme nous Tavons vu, être résolue au moyen d'une équation du degré g, et de q équations du second degré.
449. Racines eublquf»» de ranlté. On appelle ainsi un nombre réel ou imaginaire dont le cube est égal à Tunité. En
désignant ce nombre par x, il est déterminé par Téquation
(l) J™' — 1 ZI o.
Cette équation binôme a trois racines qui jouissent d'une propriété remarquable qui nous servira plus tard, quand nous traiterons de la résolution des équations du troisième de<rré, et que nous voulons signaler ici. La propriété en question peut se formuler ainsi : les trois racines cubiques de l'uni tt^ sont trois termes consécutifs dune progression géométriqup, le premier de ces termes étant égal à Vunité,
Eq effol, l'équation (i) peut s'écrire
On obtient d*abord la racine .r, — i, et les deux autres racines œ^. x^ sont données par Tequalion
On a donc
ou
OU Xa — (jp./, en tenant compte de l'hypothèse [x^Y m i .
Nous représenterons, d'après cette remarque, par i^'.f: les trois racines cubiques de Tunité.
%, Résoudre une équation du troisième degré sachant que, parmi ses racines^ il y en a deux qui sont égales et de signes contraires. Soit
f{x) =: Ax* -h Bx' -f. CîT» -h D = o,
4% TRENTE-DEUXIËME LEÇON
l'équatioa proposée ; on cherche d'abord la condition que doivent vérifier les coefficients pour que les nombres ol et^x $^oient, i'unet Tantre, racine» de cette équation. On trouve ainsi
AOizBC,
et l'on n, finalpinont,
*. Résoudre une équation du trohième degré , sachant quf'Vime dn rad* nés est nioyenne géomMrique pntre les deux autres, L*éq nation «Hant
on trouve In condition suivante g' =;>*r, et l'on a
3, Exprimer que dans V équation générale du quatrième degré il y a deur racines particulières égales et de signes contraires et, dans c^tt^ hypoihè$e. résoudre V équation,
LVquation étAnt
tr* -h px"" 4- qx* + rx -h « zz i». On trouve, ]>our la condition cherchée,
r^ ^pqr-\-p*s.zzi\.
On suppose /) ^ 0 et Ton tire Sy de cette relation. L'équation peut alor? s'écrire
i. Exprimer que l équation
a deux racines particulières, dont la somme est égale au ptH>duit des deux autres racines.
Soient a, à, c, d les quatre racines : on suppose que Ton a
a-hbzzcd,
la somme des quatre racines étant nulle, on n
cd-hc + dzzo, on, —h-.'i' t =zo.
1 1 On peut poser ^ = - -^ - ; la transformée en y est une équation du qua-
trième degré ayant deax racines égales et de signes contraires. On peut donc résoudre celle-ci, en suivant la marche indiquée dans Texercice pré cèdent.
6. Démontrer que h m est un nombre premier , les m racines de l'équation
sont
a étimt une expressiofi imaginaire dont la puissance m***** est égale à i.
On voit d'abord, sans difficulté, que les m termes de !a suite (a) sont des racines de (i): on reconuait qae ces expressions sont différentes, de la manière suivante.
Soit A < ^ <m ; je dis que Ton ne peut pas avoir
(3) a* = a\ Posons Âr == A -f- 0, Tégalité précédente devient
puisque 0 est inférieur à m, 0 est premier avec 7^2, et l*on a
mx — Oy—i 1,
jc et y étant entiers. Adoptons le signe +: Tégalité (4) donne a^^=: i, et,
par 8uiU, a^y+* = «, ou a"**" = a. Mais on a a'" = i , par conséquent a"*^ = i . On aurait donc a= i, ce qu'on ne suppose pas. En prenant le signe ^, on
est conduit à l'égalité - = i . qui donne encore a = i .
TRKÎVTK-TROISIÈME LEÇO\
LIMITES DES RiLCINES
443. Déflniaoa des limites. Soit A et B, A étant plus grand que B, deux nombres positifs et tels que toutes les racines positives de Péquation f{x) n: o soient comprises entre A et B ; nous dirons que A est une limite supérieure^ et B, une Hmite inférieure des racines positives de cette équation.
Imaginons, de même, deux nombres négatifs A' et B', A* étant moindre que B' en valeur absolue; si toutes les racines négatives de Téquation f{x)zzii sont comprises dans l'intervalle A', B'; nous dirons que A' est une limite supérieure, et B' une limite inférieure des racines négatives de cette équation.
Remarqoe. La recherche des nombres A, B ; A'^ B' peut être ramenée à celle d'une limite supérieure des racines posififyes.
Soit f(x)zzo, réquaiion proposée et a une limite supérieure des racines positives de Téquation jt'"/' f — | =r o ; - est
évidemment une limite inférieure des racines positives de réquation f{x) — o.
De même, si Ton considère Téquation f{^x)-=:o et si toutes les racines positives de cette équation sont comprises entre les nombres [x et v ; toutes les racines négatives de la proposée seront renfermées dans Tinten'alle ( — îjl, — v).
Le problème que nous nous sommes posé et qui visait la recherche des quatre nombres A, B, A', B' ; se trouve, par ces considérations, ramené à cette question unique : déterminer une limite supérieure des racines positives d'une éçtuition donner.
LIMITES OES H.VCINE:^ 489
Les différentes méthQdes que nous allons exposer, à Texcep* tion pourtant de celle de Newton^ reposent sur le théorème suivant; théorème qui constitue comme un principe fondamental dans la recherche qui nous occupe.
l. Théorème. Si une fonction entière f{x), dont le premier terme a un coefficient positif , est ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x, et si elle ne présente qu'une variation ; cette fonction est croissante y pour toutes les valeurs positives de x.
Soit une fonction entière f(x),
f yx) s A.r'" -h . . . -r Rr" — (k*'' ... - Dx^ ,
f{x) est, par hypothèse, un polynôme ordonné, ne présentant qu^une variation, variation qui a été mise en évidence ; les quantités A, ... B; ... C, ... D étant supposées positives. On a
La fonction x*^ est croissante pour toute valeur positive de x;
d^ailleurs les quantités Aa;"'~", ...B, pour le même motif, sont croissantes; exception faite de B, qui est une constante.
Enfin, les fractions — ^, ... diminuent, quand x croit.
Pour ces raisons diverses /* (.r} est une fonction croissante, pour toute valeur positive de x.
II résulte évidemment de cette propriété que si Ton suppose : «% /"(*)>»; îï^6> a; ona aussi /'(6)>o.
44S. Méthode par f^roupeaicnte. Une fonction entière f{x), ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de Xy peut toujours être écrite sous la forme
chacune des parenthèses ne présentant qu'une variation.
m TREXT&TROISIÈME LEÇON
On doit d*aiUeurs observer que la dernière de ces parenthèses peut ne présenter que des termes positifs et se réduire a Texpression P^, dans le cas où le dernier terme de f{x) esl positif.
Ceci posé, soit a, un nombre qui^ substitué à x, dans chacune des fonctions
donne des résultats positifs, ces fonctions étant croissantes (g444)i si Ton suppose /* (a) > o, on a /'(x)>o, pour toutes les valeurs de a? plus grandes que a. Ainsi a est une limite supérieure des racines positives de Téquation f{x) =: o. . 4Ufl6. Méthode par fl^roupements lrré§^llers. Le^ raisonnement que nous venons dd faire n'exige nullement que les groupes considérés aient été obtenus par la méthode de groupement que nous avons indiquée.
Si, en cherchant à généraliser la règle que nous venons de donner, on suppose que Ton ait
et si, pour a? — a, on peut reconnaître que les fonctions U^, V^ . W^; sont croissantes ; a est, évidemment, une limite des racines (*).
11 résulte de cette observation, qu'au lieu de grouper dans leur ordre naturel, les termes de 1 équation ordonnée, on pourra les associer dans un ordre différent, chacun des groupes commençant par un terme positif.
Cette remarque a une certaine importance ; elle permet quelquefois, comme nous le montrerons tout à Theure sur un exemple particulier, de trouver une limite plus avantageuse que celles qui sont fournies par les autres méthodes.
1. U sera s^oud-eateudu, dans la auile de cett« leçon» que le mot désigne, explicitement, une limite supérieure des racines potiliTet: oou tupposeroDS aussi que cette limitf^ est un nombre plas grand que l'unilé.
UMITES DES RACINES 491
ifl4l9. Théoréoie. Le nombre a déterminé par la méthode par groupements est une limite poxir les équations dérivées.
/•(^)s:(P,-0.)-+-(P,-Q.)-u... + fP^-Q^,
r (X) = (p; ~ g;) -f- (p; - Qi) + ... + [Ph - Qi) .
La fonction (P, — Q,) est croissante, pour a; — a; sa dérivée
(Pj — QÎ) est donc positive, pour cette valeur de x.
D'ailleurs la forme {P[ — QÎ) n'offrant qu'une variation, cette
fonction est croissante, pour x = a. Ainsi f {x) est une fonction positive, et croissante, pour celte valeur d^; x.
Cette démonstration s'étend, comme on le voit, aux équations /* (x) zz o, f^ {x) = o, etc. ..
ifliiS. Refile de Ma€»-Eiaariii. Lorsque le premier coefficient Ao, d'une équation f{x)zzo, est un nombre positifs
I -h — ^^^ ww^ limite des racines; N désignant la valeur abso-
Aq
lue du plus grand coefficient négatif.
Soit
(A) A^) = Ao.^"* + A,y'*--h...4-A^; l'équation proposée ; posons
Nous allons chercher à déterminer un nombre positif x\ vérifiaat Tinégalilé ç {x') > o, mais nous établirons d'abord que ce nombre est une limite*
On a
en posant,
les coefficients A, + N, ... A^ -f- N sont nuls ou positifs, puisque N désigne le plus grand coefficient négatif, changé de
492 TRENTE-TROISIKME LRGON
signe. Ainsi, on a f{x') > ç (j:'). Si Ton observe maintenant que 9 {x) n'a qu'une variation, on reconnaît que © {x)^ est, poor
j:i=ir',une fonction positive et croissante (§444), si Ton a s (x') > 0. D'après cela, f{x) représentant identiquement la somme derdeux fonctions ? {x), '^{x)^ qui sont, Tune etTaulre, positives et croissantes, pourx zrx', f{x) est elle-même, pour qette valeur de x, une fonction positive et croissante. Cherchons donc à résoudre Tinégalité
pour une valeur de x supérieure à Tunité. On doit donc avoir
ou
ou, encore
jn
La fraction est positive, et plus petite que l'unilé:
par suite si Ton pose
Ao
iw "~" 1
