LIMITES DES RACINES
données tout à Theure, une limite des racines de Féquation /'(j;) = o; on peut même ajouter que la fonction f{x), est croissante pour x = x'y et pour toutes les valeurs de x supérieures à x\
N ^^MÊ, TTliéoréme. Le nombre i + -^ donné par la règle
Ao
de Mac-Laurin^ est aussi une limite pour les équations dérivées.
On a, en effet, d'après (A)
SoitNMa valeur absolue du plus grand coefficient négatif, du second membre. Le terme qui a pour coefficient N' provient nécessairement d'un terme négatif— A^a?"*"''*^*, du polynôme f{x).
On a doue,
et la règle de Mac-Laurin, appliquée à Téquation r[x) = o, donne une limite z,
. m — A 4- 1 Ay,
Mais on a
puisque Ton a < i . Ainsi 1 4- 4- est une limite des
m Ao
racines de l'équation /"(a?) n o.
Cette remarque s'applique évidemment à Téquation r(x) = o eiy généralement, à toutes les équations dérivées.
4MI. R^i^Ie de W^mgrBuge» Si le premier coefficient nétjaiif d'une équation f{x) = o, ordonnée, et du degré m, appartient au terme dont l'exposant est égal à (m — />), les notations
précédentes étant conservées, le nombre i 4- y/-^ est u/#e /t-
mite des racines de réqtiation.
Cette règle, due à Lagrangf^^ donne une limite plus avantageuse que celle de Mac-Laurin, quand on suppose que le terme
A^a?***"^ de Téquation proposée a un coefficient A,, positif ou nul.. La règle de Lagrange peut s'établir ainsi. On a
/•(rc)s:[Aoa;"* — N(a;"-^ -h ... + x 4- i)j -h lA.x"""' ^
... + (N-hA^)a;"'-'' + ...-h(N-4-AJl.
Les coefficients
sont positifs ou nuls, et Ton voit, en raisonnant comme nous Tavons fait pour établir la règle de Mac-Laurin, que si Ton peut trouver un nombre x' vérifiant Tinégalité
x' et tous les nombres supérieurs rendront la fonction f{x) posilive et croissante.
L'inégalité précédente peut s'écrire
Ao^-"'>N^^ ^,
ou encore, puisque (x—i) est une quantité supposée positive.
A,y" (a; - I ) -- Na:"*-^+' + N > o, OU; encore, sous une autre forme,
Remarquons maintenant que Ton a a7>a;— i et, par suite,
x^"*>te — i)*^* ; puisque (a — i) désigne une quantité positive.
UHITES DES RACINES 49S
L*iDégalité (a) peut d'ailleurs s'écrire,
^ni-;>.
ou
On voit, d'après 'Cela^ que si Ton détermine x par l'équation
\o{x^ i7=:N, laquelle donne
V Ao'
ce nombre x' vérifie Tinégalité (s) et^ par suite, Tinégalité (i).
451. Théorème. Le nombre i + \/ — donné pat' la règle rfe Lagrange^ est une limite pour toutes les équations dérivées. On a y en effet,
r (a:) = m A«x"*-' + ...--(m-j>) A^or*"^^^' + - "^ Vi-
Le premier coefficient négatif, dans le second membre, est (m— p)Apqui correspond au terme dont l'exposant est
m — p— K La règle de Lagra nge, appliquée à l'équation r (x)z=:o donne une limite z^
m Aft
(//i — A) Ay^ représentant le plus grand coefficient négatif de réquation f (x) = o. On a d'ailleurs A;^ 4N et comme l'iné-
galité < 1 est évidemment vérifiée, z est plus petit
406 THENTE-TROISIÈME LEÇON
que • + V T* ^^^isque f (x) e^l une fonction positive et croissanté pour x = j, et pour toutes les valeurs de x supérieures
^ ^> * + V T" 6st doncaussi une limite de Féqualion /\x) =z o.
La propriété s'étend évidemment aux autres équations dérivées : r {^) — «> etc. . .
^59. Métbode de Mewton. Nous allons enfin exposer une dernière méthode ; cette méthode due à Newton repose sur le principe suivant /
Théorème. Si f{x) zz u désigne une équation entière^ ei si un nombre a satisfait aiu.r inégalités
a est une limite des racines de V équation proposée. La formule de Taylor (g 3o8), donne
.fW-I
/•(«-4-A)=:/-(«)+-r(») + - + 7,-7—. ri ^ '■'•'+ •^•*'"'
A» désignant, comme toujours, le premier coefficient du polynôme f{x), coefficient qui est positif. Cette identité prouve que, dans Thypothèse formulée plus haut, /*(a + A) est plus grand que /'(a), si l'on suppose h positif. La fonction f{x) esi donc croissante pour x =: a, et pour tous les nombres supérieurs à a.
Ceci posé, considérons la suite 4
soit a, le plus petil nombre enlier qui rende U^ nul ou positif. Substituons a, dans U,„i, U,,,.^, ... ; jusqu'à ce qu'on trouve une fonction U„,A qui soit négative pour a: == a,. Dans cette fonction, remplaçons x par a, + 1, a, 4-2, ... ; jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre a. qui donne à U^^-a une valeur positive ou nulle.
