LIMITES DES RACINES
On doit remarquer ici qull résulte de ce qui précède i»que (a, — i) donne à U^.^ le signe —, 2® que a, donne le signe +, aux fonctions U^^^, ... U^; et ce dernier point résulte du théorème précédent, puisque les fonctions, U„a^i...U^, sont
croissantes pour a* rz a, et pour toutes les valeurs supérieures à a,.
Après avoir déterminé a„ comme nous venons de l'expliquer, on calculera successivement, d'une manière analogue, *«> 3[», etc. .. ; jusqu'à ce qu'on trouve enfin un nombre entier a, satis&isant aux conditions suivantes :
i" a rend positives les fonctions U,
2« (a — 1 ) ntf jouit pas de cette propriété.
Le nombre 2, ainsi défini, est la limite que nous adopterons.
4&8. Exemple. Soit
réquation proposée :
1^ Méthode par groupements. On écrit Téquation sous la forme
Première limite y a, zz, 5o.
2<» Méthode par groupements irréguliers. Écrivons Téquation de la manière suivante :
(j^ -h ir* — 1 00) -h (.'U^ -- 3x') -h 2X - 0.
On trouve :
Deuxième limite y a, — a.
3« Méthode d^Mac-Laurin. On a, dans l'exemple proposé Nz= 100 Ao = t. '
Troisième limite^ a, — loi.
4° Méthode de Lagrange. Le premier terme négatif est
- 3x' ; la formule * + X/t*' donne ici, 1 -l- y 100 .
Quatrième limite, «4 — 6.
5^ Méthode de Newton. Nous formerons ici, pour appliquer celte méthode, le tableau suivant :
f{x) 1= a;* + yx^ — 3x* + ax — 100 /*' {x) =, 6a;* -4- 28a?* — 9X*-h 2
— ^-^ z= i5x*-4- 42X — QX 1 . a
11 est inutile, dans cet exemple, de calculer f* (x), puisque
f*^{x) est constamment positif.
La valeur x :=. 1 donne le signe -f- aux fonctions f^, Tj et T ; mais non à /"; a; z: 2 donne le signe + à /" : concluons donc que la méthode de Newton donne :
cinquième limite, a, 112.
La méthode de Newton donne lieu, en général, à des calculs plus compliqués que les autres méthodes exposées dans cette leçon ; mais elle offre certains avantages^ comme le prouvent les considérations qui suivent.
ift&ifl. Théorème. Les limites données par les méthodes exposées plus haut (exception laite de la méthode par groupements irréguliers) sont supérieures, ou tout au moins égales, à celle qui est fournie par la méthode de Newton.
Soit a la limite donnée par la méthode de Newton; x' une des limites qui ont été calculées par les méthodes que nous avons exposées. Nous avons montré que a', et tous les nombres supérieurs, donnaient le signe +, à la fonction proposée, et à toutes ses dérivées* Or a jouit de cette propriété, mais non (a — i). Ainsi a' est un des nombres
a, a+i, a4-2,...; il est donc au moins égal à a.
LIMITES DES RACINES 4d9
». TThéorème. Lorsque réquaiion f(x) = o, a toutes ses racines réelles, la méthode de Newton conduit à la meilleure limite.
Nous nommons meilleure limite le nombre entier immédiatement supérieur à la plus grande racine positive.
Posons
on a donc
f{y+h) :^f{hHyr{h)+ fj AA)4- ... + -/'"\à).
Dans cette identité, remplaçons h par 2, ce nombre x étant la limite donnée par la méthode de Newton. Tous les coefficients de réquation en y y
sont positif:i. Au contraire dans Péquation
un certain nombre de coefficients sont négatifs.
L'équation f{xj =z u ayant toutes ses racines réelles, il en est de même de Téquation f{y-hh)zzo. Or nous verrons bientôt (leçon 36), qu'une équation qui a des variations, et dont toutes les racines sont réelles, admet nécessairement des racines positives.
L'équation (i) ayant des racines positives, une au moins, parmi les racines de l'équation f{x) no est supérieure à (a— 1). U n'y a donc pas de meilleure limite que ce nombre a donné par la méthode de Newton.
i . Soient A», Ai, ... A-^j les p premiers coefficients d'une équation^
coefficients qui sont supposés positifs ; et soit A le plus grand coeffidenl négatif t pris en valeur absolue ; démontrer que a.
ai= 1 -}-
est une limite supérieure des racines.
Soit
l'équation proposée ; on considère la fonction ç [x),
ç (a;) = (A, -4- A, + . . . 4- Ap,) x'""'^' — A^a;'-"'' -+-... -I- H,
et on applique la règle de Mac-Laurin & cette équation.
1t, Les notations de Vexei'nice précédent étant maintenues A' désignant lu valew* absolue du plus grand coefficient négatif après A, démontrer que p.
2A0 + 'jA, -4- ... -t- î«A^j 4- A^/
est une limite supérieure des racines.
Il suffit de considérer l'équation {x-}-i)f{j:)z=zo et de lui appliquer la règle précédente.
3. Appliquer les différentes méthodes ^ pour trouver une limite supérieure des racinesj à Véquation
f{x) zioc^ -^ gV 4-yx' — ^V + j; — 1 — o,
dans laquelle on suppose q=i 100.
On trouve les résultats suivants :
1® Règle de MacLaurin ;
q* -\- i zz 1000001. j® Règle de Lagrange
yg»-|- j j: 101.
30 Celle de Texercice (1) donne
EXERCICES :m
Oa a donc
ou
a <C ^ + 1 ; 3c ^ 101 est une limite.
4^ Celle de l'exercice {2)
En effectoant la diviBion indiquée on voit qne
3<;- + 1 ; 3 n Oi est une limite. 'À
ô® La méthode par gronpemenU et celle de Newton donnent 10 pour limite. Ce nombre est, dans le cas précédent, la meilleure limite, l'équation ayant une racine comprise entre 9 et 10.
RiLCINES ET FACTEURS COMM ENSURABLES.
Parmi les causes d'abaissement d'une équation donnée, nous signalerons encore la présence des facteurs commensurables.
Nous dirons qu'un polynôme homogène 9 {ce,y), à coefficients commensurables, est un facteur commensurable du polynôme homogène f{xyy), lorsque la division de f{x,y) par 9(x,y) peut se faire, sans donner de reste.
Nous nous occuperons d*abord du cas le plus simple, celui où Ton a
9{x,y):^xx + ^y,
^A&B. Théorème. Si le premier membre de V équation^ à
coefficients entie7's,
Kox'' + k.x'^'y + . . . -4- A^*" rz o,
admet le facteur commensurable xr + py (a et 6 étant entiers) : x"" (xest un diviseur de Ao ; a** P est un diviseur de A^. On a, par hypothèse,
(A) AoX^H- ... -4- A^y^srCxr-H^y) (Pa:~-* + ... ^-Qy-"').
Dans cette identité (note A); P, ... Q ; désignent des nombres entiers. On a, d'ailleurs, en égalant dans les deux membres
les termes en a?*" et en y"*,
Ao = aP, et A« = 3Q.
RACINES ET FACTEURS C0MMEN6LRABLES 503
Ces égalités prouvent que les quotients — ^ , —, sont des
nombres entiers.
ii&9. Corollaire. Quand le premier terme cTune équation en Xy a pour coefficient Vunitéy cette équation n'admet^ pour racines commensurableSy qu^ des nombres entiers.
En effet, si^ dans Fidentité (A)^ on suppose que Ton ait y = i et A» 1= 1 ; régalité A» i= aP, devient i n aP : on a donc a = i etPi=i.
D'après cela, le diviseur »r-f- 3y se réduit à ar-h 3, 3 étant un nombre entier.
^S8. TThéoréme. On peut toujours ramener la recherche des racines eommensurableSy à celle des racines entières.
AoX -+- A,.T^~ -|- , . . -|- A^ — o,
réqualîon donnée. Posons a? z=— ,il vient alors
Ao
~-+- A, ; -f~ .•• -h A ir O,
o Ao
ou
X*" 4- A.X*""* + ... -h A„Ao*"~* = o.
Dans cette équation les coefficients sont entiers et le premier d*entre eux est égal à Tunité. Nous venons de montrer, dans le paragraphe précédent, qu'une pareille équation ne pouvait admettre que des racines commensurables entières ; lé principe énoncé se trouve ainsi établi.
ift&S. Remarque. La transformation que nous venons dMndiquer donne lieu, quelquefois, à une simplification digne d'èlre notée. Le cas que nous voulons signaler ici, est celui où réquation proposée se présente sous la forme
jn^m t__ r. /•*"■" *yv*'w~*
«.«"•rc" + a.a" 'x"^'-H... + a«i<xaf + 0» = o.
Posons
OiXZl —
L*éqaation transformée est
si nous prenons X égal à Uoy nous avons, pour déterminer X, Inéquation :
X'^ + a^X*''"'^-.. +aX"^ = «-
On remarquera que le terme tout connu de Téquation, ainsi transformée, est a^aj*"* ; parla méthode générale, on eut
trouvé, pour le dernier terme delà transformée, a„aJ'~*3i"^*~*K
La facilité de la recherche de^ racines commensurables reposant, principalement, sur la simplicité plus ou moins grande du dernier terme, la remarque que nous venons de signaler a une importance notable ; elle devra être appliquée toutes les fois qu'il sera possible de le faire.
iflOO. Recherche des racines entières. Soit une équation, à coefficients entiers, le premier d'entre eux étant égal à Tunité,
(i) a;'" + «,^"'V(i.x*^V...4-«^ia: + a«, = o;
et soit OL, une racine commensurable, entière, de cette équation. On a
(2) x« + a.x^-* + ... + a^=: (a; — a) {af^^ -h X.x--- + ...
En égalant les termes tout connus de cette identité on a d'abord
