RACINES ET FACTEURS COMMENSURABLES
OU
Les coefBcients X sont entiers, pour des raisons bien connues, et qui résultent de la division du polynôme
a?"* + a,a;"*""*4- ... -f-a^ par a? ~ a ; ainsi les racines entières
de r équation {i) sont des diviseurSy positifs ou négatifs, du terme tout connu a^.
L'identité (a) donne aussi les égalités suivantes
ûm~2 — \» -2 "~ ^'^fïi-a
a, zn A, — a.
Ces relations, et l'égalité (3), donnent successivement
OL
On peut maintenant énoncer la propriété suivante : pour qu'un nombre entier a, soit racine de l'équation (i), il est nécessaire qu'il remplisse les conditions suivantes :
i« Il doit diviser le terme tout connu ; soit Q,le quotient obtenu.
2» Si à ce quotient Q., on ajoule le coefficient a^„
cette somme doit être encore divisible par a; en général, si, à un quotient Q^^, obtenu par la voie indiquée, on ajoute le coefficient du terme en ce*, cette somme, divisée par a, doit donner un quotient entier, Qy^^^ .
30 La loi précédente étant vérifiée, tout le long de Téquation, les nombres On Qi» •• Q«»i étant entiers, ilfeul encore que régalité
(6) a^ zz \ — a,
soit vérifiée; et comme Ton a X, n — Q^^, il faut donc que
le dernier quotient trouvé augmenté du coefficient du terme
en ar*""*' donne une somme égale à la racine essayée, mais affectée d'un signe contraire.
Ces conditions sont nécessaires; elles sont aussi suffisantes. En effet si elles sont vérifiées les égalités (5) et (6) entraînent les égalités (4), et, celles-ci, l'identité (2).
On voit, d'après cela, que la recherche des racines entières de réquation (1) exige d'abord la connaissance des diviseurs positifs ou négatifs, du terme tout connu. Pour diminuer le nombre des calculs, on utilise un certain nombre de remarques que nous exposerons maintenant.
4LB1 . Régies d'exclusion. 1 ^ Si a est une racine de réquation entière f{x) iz o,
les divisions ^ et- , doivent se faire exactement ^
En effet, l'identité
(t) /"(a;) s: (X — a) ç (a?) donne, successivement, les égalités suivantes :
Ai)
D'ailleurs 7 {œ) est un polynôme à coefficients entiers, par
sulte^ ? (i) et 7 (— 1) sont des nombres entiers : la remarque énoncée se trouve donc démontrée.
RACINES ET FACTEURS C0MMEN8URABLES 507
:ïo Si parmi les troùt nombres
î7 n*y en a aucun qui soit divisible par 3, il n'y a pas de nombre entier vérifiant Véquation proposée.
En eflfel ridentilé (i) donne les trois égalités suivantes :
Dans les trois nombres entiers consécutifs
il y en a un qui est certainement divisible par 3 ; le diviseur 3 doit donc appartenir à Tun des nombres
Cette remarque, qui est due à Gauss, est susceptible d'une généralisation évidente. On voit que Tun des nombres f{\). /■(a), .../"(P), doit être divisible parp quand réquation f{x) zz o admet des racines entières. Mais dans la pratique on se borne, généralement, à la remarque simple que nous avons donnée sur les trois nombres /"(i), /"(o), /"(— t), parce que ces nombres se calculent facilement.
