Racines eommensorables ffraetionnaires

L'identité (A) qui peut s'écrire, en faisant y:=-^y

(AO A^*" -h A.a;'"-* 4- . . . 4- A^ =: (ax 4- g)(X,a:'"-* H- X,a?'"-*+

Ao — 2A|

A. =: 3X, + aX, A,=:pX,-4-a)^

donne les égalités

Réciproquement, si ces égalités sont vérifiées par des valeurs entières des coefficients X, l'identité (A') a lieu, et ( — \

est une racine commensurable de Téquation proposée. Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes, pour que

( — j soit une racine de Téquation sont les suivantes :

3Ao

tous les coefficients X étant entiers.

4163. Application, i** Exemple nuinéiHque. Soit Féquation (i) f{x) - 8a;* — \x* — 1 2x* -}- «a; -— 3 iz o

Pour la ramener à la forme d'une équation n'ayant que des racines entières et pour appliquer en même temps une remarque faite plus haut (^4^9)» multiplions les deux membres par 2 ; il vient

i^x^ - a'o:' — 6 . a\r* -i-OL .n>x — 6 ~ o, ou, en posant a a: == X,

(2) X* — X^ — GX'4-'2\-6 = o,

RACINES ET FACTEURS COMMENSURABLES :;iin

C'est cette équation que nous allons considérer. On a

La remarque de Gauss n'exclut pas toutes les racines entières, puisque f{o) est divisible par 3.

Les diviseurs que nous devons considérer successivement sont

îi, :\y () :

— 3 et

/■(i), fait exclure —a; /*(- i), 6 et —6. 11 reste donc à examiner les seuls nombres

«, 3 et —3.

Voici le tableau du calcul :

(2 n'est pas racine)

(3 est racine)

(— 3n'eslpasrac/y

Ainsi 3 est la seule racine entière de Téquation (2) et, par

conséquent, -la seule racine commensurable de l'équation {i ).

On peut vérifier ce calcul en remarquant que l'on a, en effet,

Sx-* - 4^' — 12X* 4- 2j? — 3 =: {2X — 3) (ir' -h ix* -f- 1).

20 Exemple algébrique. La recherche des facteurs commensurables ou, si l'on préfère, des facteurs rationnels, de la forme oo; + 3y, peut encore se faire, dans certains cas, sur des équations algébriques.

Prenons l'équation

Parmi les diviseurs algébriques du terme tout connu se trouve l'expression p -H g. Appliquons la méthode des racines commensurables à la quantité — (p + g).

Le calcul suivant :

prouve que — (p -4- (?) est racine. On a, en effet, l'identité connue

4641. Remarque. Il y a une règle d'exclusion que nous n'avons pas encore signalée et qui peut être profitable dans certains exemples numériques. Cette règle évidente peut se formuler ainsi : les seuls diviseurs du dernier terme que ton doit essayer y sont ceux qui sont compris entre les limites assignées aux racines, par les méthodes connues.

Prenons, par exemple, Téquation

Le dernier terme admet un grand nombre de diviseurs, puisque Ton a 3^4 z: 2'3*. Parmi les diviseurs positifs, on peut exclure tous ceux qui sont égaux ou supérieurs à la, la règle de

Lagrange assignant 1 + yioS comme limite aux racines positives.

On peut encore abaisser cette limite, en remarquant que l'équation précédente peut être écrite sous la forme suivante

(x* — 36a;* -h 3i4) +- a: 2;x — io8j n o