RACINES ET FACTEURS COMMENSURABLES
OU
Le nombre 4 est donc la limite assignée par cette méthode et les seuls diviseurs positifs que Ton ait à essayer sont a et 3. Ce dernier nombre est d'ailleurs une racine de Féquation comme le prouve Fidentité suivante:
a:*— gx" — io8j;-f-324 = (iC — 3)(x'-h3«^ — io8).
4M&, Faetoors eommensorables d'an de^peé quelconque. Soit f{x) = o, réquation proposée ; f{x) admettant, nous le supposons, le facteur commensurable y
y == «^ H- a.x'^' -f- . . . -♦- ap^jX 4- a^-
On tire de cette égalité
Multiplions, de part et d'autre, par x, et, dans le second membre, remplaçons x^y au moyen de la relation précédente ; nous
obtenons, pour jf^^^ une expression ne renfermant que les lettres
V, Xy JL • • • • X •
En poursuivant cette manière de faire, nous pourrons calculer, successivement, toutes les puissances de x : sf^ a?^^y ... par des expressions qui sont des fonctions entières de y, et des
puissances de j? : a:, jj", •.. o;*^* . Ce calcul étant effectué, le polynôme f{x) prendra donc, lui aussi, celle forme algébrique et en groupant convenablement les termes de cette forme, on aura finalement
U,, U„ ... U^ désignant des fondions entières de y. Ceci posé soit \ une des p racines de Téquatîon
(2) x'^H-aiX-'^'-h... -}-Jt„=: o.
:j 1 2 TRENTE-QUATRIÈME LEÇON
Pour rc = X, on a y = o. Désignons par m„ W|, .. . u^ les termes .
indépendants de y^ dans les fonctions U ; puisque \ est une racine de l'équation f{x) n: o, Tidenlité (i) donne
«tX,''"* -H w,X,P- V . . . + w^ = o.
On conclut de là que Téquation, du degré (p — i),
u,X^' + t^.X'^' -h . . . + Up z= o,
admet p racines, savoir celles de Téquation (a). On a donc
w, zio, w, zro, ... w nzo,
et ceci constitue un système de p équations, entre lesp inconnus a,, a,, ...(Zp.
On doit enfin remarquer que Télimination de a,, ... x^ entre ces équations, si elle se fait sans introduction de facteurs étrangerSy conduit, pour une raison évidente, à une équation en a du degré C^. On cherchera, parla méthode exposée plus haut, les racines commensurables de cette équation et Ton déter* minera ainsi la première inconnue a,. Les autres inconnues a,, ... Op se calculent ensuite par des équations que l'on peut former par combinaison des équations ti := o ; ces combinaisons sont, généralement, du premier degré.
4IOO. Théorème. Étant donnée une équation f{x) zn o, ayant ses coefficients réels, on peut toujours trouver les racines de la forme a -h ^i; a et ^désignant deux nombres commensurables.
En effet Téquation f{x) zz o ayant, nous le supposons, ses coefficients réels, a — 3* est aussi Tune de ses racines ; par suite, le produit
est un diviseur de f{x). Mais on a
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xel frétant commensurables, le trinôme(x"— 2aa;+a*-f-&*)est un facteur commensurable du polynôme f[x) ; il sera donc possible de le déterminer, notamment par la méthode précédente. Dans ce cas, Téquation du degré m, proposée^ est abaissée ; sa résolution étant ramenée à celle de deux équations^ dont les degrés sont 2 et (/h — 2).
