Trouver les racines de l'équation

X^—'p*{p'+p-hi)X'-p^{p'h ij =<S

Sachant que ces racines sont commensurables, quelle que suit la valeur commensurable attribuée à p.

Les trois raciaes sont — /?, —p*, eipip + i).

Le théorème de Rolle que nous allons exposer dans celte leçon, ceux de Descartes et de Sturm, que nous verrons ensuite, ont pour but ; soit la recherche de la présence des racines imaginaires dans une équation donnée^ soit la séparation des racines réelles, non commensurables.

On dit que deux nombres commensurables a et 0, séparent une racine de Téqualion f(x) zz o, lorsque il y a, dans Tîntervalle a, ^, une seule racine réelle de cette équation.

4169. Principe. La dérivée logarithmique cTune fonction entière passe du négatif au positif lorsqu'elle devient infinie.

Soit f{x), la fonction entière proposée ; considérons la fonction y,

La dérivée /"' {x) étant d*un degré inférieur à celui de f(x) y ne peut devenir infinie que pour les valeurs de x qui sont des racines réelles de l'équation /"(x) rz o.

Soit a Tune de ces racines, p son degré de multiplicité ; on a donc

9 [x) désignant une fonction entière. On d> par suite,

et, par conséquent,

Supposons maintenant que x varie dans Tintervalle a — i, a -h s; comme ^{a) est différent de zéro, on peut prendre t assez petit pour que o{x) ne change pas de signe, pendant

cette variation. La fraction -^-^ conserve donc une valeur

finie; au contraire, — - — prend des valeurs qui croissent au

delà de toute limite, quand e tend vers zéro. Cette fraction donne donc son signe au second membre de Tégalité. Pour