Définition des permutations nvee répétition
Si Ton imagine m lettres parmi lesquelles a sont identiques à fl, 3 à 6, Y à c,... X à /, les différents groupes que Ton peut former en plaçant ces lettres les unes à la suite des autres de toutes les manières possibles portent le nom de permutation avec répétition.
80« Formule des permutations h répétition. Considérons m lettres et formons le tableau des permutations que Ton peut faire avec ces lettres.
Soit Rm le nombre de ces permutations. Affectons dans chacun des termes les a lettres a des indices i, 2,. .a. Permutons maintenant ces indices de toutes les manières possibles ; nous obtiendrons un second tableau dont le nombre des termes sera égal à Rm . Pa. Or ce second tableau contient toutes les permutations qu'on peut former avec m lettres parmi lesquelles 0 sont identiques kb,y kc,,..Xhl,les autres lettres étant distinctes. En effet, i^ deux termes du second tableau sont distincts, car s'ils proviennent d'un même terme du premier tableau, ils diffèrent par Tordre des indices 1, 2,... a , ou, s'ils résultent de deux termes distincts, ils sont différents par l'ordre des lettres. — a» Une permutation quelconque des tn lettres, où Ton suppose que g lettres sont identiques à 6, Y à e^... Xkl, les autres lettres étant distinctes, figure dans le second tableau ; car, si l'on supprime dans cette permutation les indices 1,2, 3,... a , on obtient un terme du premier tableau ; et , par hypothèse, on a affecté les
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lettres a qui se trouvent dans ce terme des indices i , 2,... 2, en donnante ces indices toutes les dispositions possibles.
Cette remarque étant faite, affectons les 3 lettres b des indices 1, 2,... 1^, dans chacun des termes du sacond tableau, et permutons tous les indices de toutes les manières possibles; nous formerons ainsi un troisième tableau, dont le nombre des termes sera égal à
lim . Pa . Pp
et on démontre, comme précédemment, que ces termes sont les permutations distinctes de m lettres dont y sont identiques
En continuant ainsi, on finira par former toutes les permutations de m lettres distinctes. Le nombre de ces permutations sera
Rm.Pa.Pp.Py P^,
or ce nombre étant égal à Pm» on a donc
Rm=:
Vm
Pa . Pp . Py .
..Px*
(1.2 .. . a)(i.2 . . . Jîj) (1.2 . . .y) . . . (I.-4 . . ."a)
OU encore
lu 3:
'"■"a! . g! . v! . ., . Al
t. Poiin former les combinaisons simples de m lettres a ^ 6, c, . ,. /, prises p «/>, on écrit les lettres qui entrent dans les diverses combinaisons (p— i,' à (p— i), dans l'ordre alphabétique, et on écrit à la suite de chacune de ces combinaisons, successivement chacune des lettres qui suivent la dernière dans Vordre alphabétique. En déduire la formule
EXERaCES 25
S. Oa considère le tableau des combinaisons complètes de m lettres (p— ij àp^i)y tableau où Von suppose que dans chaque combinaison les lettres sont écrites dans Pordre alphabétique, A la suite de chaque combinaison o?i écrit successivement la dernière lettre et toutes celles qui la suivent dans tordre alphabétique. Démontrer que Von forme ainsi toutes les combinaisons complètes de m lettres p à p.
3. Soient /« (m +/> — i) lettres fl, ''j • - . û « + « — i. ^^^ chacune des combinaisons simples de ces [m -f-/) — i) lettres, ou Von suppose que les indices se succèdent dans tordre croissant, on diminue le second indice de i
ie troisième de a, le p" de (p— i). Démontrer que Von obtient ainsi, sans omission et sans répétition , les combinaisons complètes des m lettres flj, a j . . . fl„ prises p àp; en conclure la formule
•^fP rP .
