X- rr a — e,la fraction —^ — prend la valeur , nombre néga

tif, si nous supposons t positif; au contraire, pour xzzu-h s,

P cette même fraction est égale à ~, valeur positive, dans la

même hypothèse. En résumé, y est négatif avant le passage de o^par la valeur a, positif après ce passage.

4G8« Théorème. Knire deux racines réelles consécutives a, 3 (Tune équation, il y a un nombre impair de racines réelles de réquation dérivée.

Désignons par s une quantité positive, variable, et qui peut être aussi petite que Ton voudra. Faisons varier x dans l'intervalle

Le rapport --—- est positif, pour a; — a + s; négatif, pour

a; = îi — £ (g 4^7) . D'ailleurs f{x) conserve le même signe, pour toutes les valeurs de x prises dans l'intervalle que nous con* sidérons, puisqu'il n'y a, par hypothèse, aucune racine réelle lie l'équation f[x):=zi), dans Tintervalle a, Ji. On doit donc

admettre que r i»^) ^ des valeurs de signes contraires, pour x^x-i-i, etpoura* — ^— s. fl y a, parsuite,(^3G8), un nombre impair de racines de Téquation f*(x)=zoy dans Tintervalle (a-f-î, fi — 2), c'est à dire dans Tintervalie (a, ^), puisque s est aussi petit que Ton veut.

409. Théorème. Entre deux racines réelles, con^éculives, a', 6', de Véqualion f'{x) — o, il y a soit zéro, soil une racine de r équation f(x) zz o.

En effet, si dans rintervalle a', 6' se trouvaient plusieurs racines de réqualion /*(./•) — o, en prenant deux nombres consécutifs», 6, parmi ces racines, on aurait, dans l'équation /[xjrro, deux racines consécutives ne comprenant aucune racine de réquation dérivée. Nous venons de voir, au paragraphe précédent, que celte hypothèse est inadmissible.

^VO. Tliéoréme. LorsqxCune équation f{x)zzo na que des racines simples, elles sont séparées 2)ar les nombres

X, aj, ^3' ••• ^y» T" ^*

Cette suite, dite suite de Holle, étant formée par les racifie^ jc,, ... oi,^; réelles, et rangées dans V ordre croissant, de V équation

Considérons d'abord deux nombres a consécutifs, par exempie, X. et a. j., . Si nous avons

il y a une seule racine de Téquation /*(.r)— o, dans Tintervalle «s» *;;+i- Au contraire il n'y a aucune racine, dans cet inler valle, si nous supposons

Ceci résulte du théorème précédent.

Considérons maintenant l'intervalle — *, ^t, : daus cet intervalle il y a aussi zéro, ou une racine de l'équation /'(x)izo.

Il suffît, pour le reconnaître, de reproduire le raisonnement que nous avons fait tout à Theure (§469), raisonnement qui s'applique encore à Tintervalle a , -f «. En résumé, la suite

de RoUe sépare les racines de Féquation proposée.

Telles sont les propriétés qui constituent, par leur ensemble, la méthode de Rolle, pour la séparation des racines. Nous l'appliquerons, tout à l'heure, à quelques exemples, mais nous voulons d'abord déduire, des principes précédents, certaines conséquences importantes.

4111 . Théorème. Lorsque Véquation f (./•) ir o admet 9.k racines imaginaires, ou nk racines égales, ou enfin 2A4-1 racines égales, il y a, au moins, 9.k racines imagi7iaires dans Véquation f{x) zz o.

L'équation /*' {x) zz <> étant du degré (m — 1 ), si l'on suppose f(jr) du degré m, la suite de Rolle comprend (m-4- 1) termes, par conséquent, m intervalles, tout au plus. S'il y a aA? racines imaginaires, ou (2/r-f- i) racines égales, dans l'équation dérivée, le nombre des intervalles se trouve, par cela même, diminué de 9.k : chacun d'eux renfermant tout au plus, uno racine, de l'équation f{.r) — o, il y a donc, au moins, 2 A racines imaginaires dans cette équation.

Supposons maintenant qu'il y ait une racine a de multiplicité aAr, dans l'équation dérivée. Il est facile de reconnaître que cette racine doit être, purement et simplement, supprimée dans la suite de Rolle.

Supposons, en effet, que a soit placée dans la suite de Rolle entre les racines (3, y; cette suite est alors

Dans l'intervalle (g, a) il y a zéro, ou une racine ; il y a aussi zéro, ou une racine, dans l'intervalle (a, y)- P^^ suite dans l'intervalle (3, y) il y a zéro, une, ou deux racines; mais cette dernière hypothèse doit être rejetée. En effet, s'il y avait deux racines a', a'' entre ^ et y» il faudrait que a' fut placée entre 3 et a, et a" entre a et y ; mais alors entre les deux racines

M 8 TnENTE-CINQUfÈME LEÇON

consécutives 2' et a" se trouveraient un nombre pair aA-, de racines de la dérivée ; ce qui n'est pas possible (§46ô).

Dans les trois cas que nous venons de signaler la suite de RoUe perd ^k intervalles; il y a donc 2k racines imaginaires^ au moins, dans Téquation considérée.

^Hft, Corollaire. Quand une équation f{x) zzo a toutes ses racines réelles et distinctes y il en est de même pour les équations dérivées f (a?) =: o, /* (a?) zi o . . . ,

D'après ce que nous venons de voir, cette proposition est évidemment vraie pour 1* équation r{x)zzo. Du moment qu'elle est vérifiée pour la dérivée première, elle s'étend, par cela même, à toutes les dérivées successives.

/tlfS. Théorème. On peut appliquer le théorème de Rolie aux équations du quatrième degré, sans qu'on ait besoin de résoudre une équation d'un degré supérieur à 2.

Considérons Téquation du quatrième degré, débarrassée de son second terme,

( I ) x^ -hpx* -^qx-hrzz o.

L'équation aux inverses est

(u) rx* -h qx'' ~hpx* -h i :z: o.

Si les racines de Téquation (2) sont séparées par des nombres a, b, ...; ceux de l'équation (1) seront séparées par les

nombres -, r, ..• Or le théorème de Rolle s'applique, comme-

dément, à l'équation (2) parce que l'équation dérivée

4rx'' + ?iqx* 4- '^px zz o,

admet une racine nulle. La suite de Rolle sera donc formée par les quantités

auxquelles on adjoindra, s*il y a lieu, les racines de l'équatioD

4rx* + *^Q^ + 2J^ — **•

iflVifl. Applit^tion da théorème de Rolle dà an exemple. Avant d'aller plus loin, nous voulons montrer, sur un exemple, comment on applique, ordinairement, le théorème de Rolle.

f{x) zr i6x' — 'x\px^ -h 9P*x +/)^' = o,

réquation proposée. On a

L'équation r (^) = <> admet pour racines

La suite de Rolle est, si Ton suppose p > o,

4 4 on trouve, d'ailleurs,

et

f{x,)-pq\

Quel que soit le signe dep, f{x^) et f[x^ ont évidemment le même signe. Ainsi l'équation proposée a nécessairement deux racines imaginaires. Mais cette manière directe d'appliquer le théorème de Rolle est, souvent, impraticable. Les développements qui suivent ont pour but de montrer quelques perfectionnements qui peuvent, quelquefois, être apportés à la méthode de Rolle.

>. Remarque I. Au lieu de substituer les racines de la dérivée dans V équation proposée f{x)z:zo^ équation du degré

m, on peut, quand on applique la méthode de Rolle^ faire ceUe substitution dans une équation du degré {m — *k). Si l'on divise /"(a;),

par/*'(a:), on a

9 (a?) désignant une fonction entière du degré (m — a). Soit a une racine quelconque de Téquation r {^) = « ; Tidentité précédente donne l'égalité

On pourra donc, et ceci donne lieu à un calcul plus simple, substituer les éléments de la suite de RoUe dans la fonction du degré (m — a), ç {x); c'est ce que nous voulions montrer.

4llfO« Remarque II. On peut remplacer la suite de Bolle

par une autre suite, dont les termes sont : i" ( M ; a<>(tn— î)

nombres, racines d'une équation du degré {m — a). LMdenlité (A) peut être écrite sous la forme suivante :

^ f[x) '^[nimy \m wîV f{x)'

Nous supposons, d'ailleurs, que l'équation f(x)^o, n'admet pas la racine ; s'il en était ainsi, si Ton avait n ^ ) = «,

m \ fn /

on abaisserait Téquation en divisant /"(ic) par (a; -J- — j. En répétant, sur l'identité (A'), le raisonnement que nous avons fait plus haut (g 467), on voit qu'entre deux racines réelles consè-

THEOREME DE ROLLE 521

eudves de réquntion f[x) — o, il y a un nombre impair de ra rines de Vèqtiatinn

I^ méthode de RoUe s'applique donc à l'équation f(x) zz o, en remplaçant la suite de Rolle, par les racines de l'équation (i).

^HH. Remarqae III. Soit f{x] = o une équation du troisième degréy et soient oLet ?t les racines de V équation f [x) — o ; r équation proposée a ses trois racines réelles y quand on a /"(«) /"(^Xo. Cette condition est nécessaire et suffisante,

La condition est nécessaire. En effets a et 6 sont deux éléments consécutifs de la suite de Rolle; si le produit /*(«) /*(6) est positif, lesfecteurs /*(a), /'(6) ayant le même signe il n'y a aucune racine de réquatioa/'(ic) — o dans l'intervalle a, g ; cette équation a donc des racines imaginaires.

Si l'on suppose maintenant que le produit /'(a) /*(6) soit négatif, il y a certainement une racine entre a et 6; mais il faut montrer que les trois racines sont, dans cette hypothèse, nécessairement réelles.

En eflet si la méthode de Rolle donne, en supposant a <6, le tableau suivant :

a?; —X a 6 -foc f[^)\ — •+• — -+-

les trois racines sont réelles. Mais on peut avoir /"(a) f{i) < o avec cette seconde disposition :

et, dans ce cas, l'équation f{x) zz o n'aurait qu'une racine réelle. Je dis que le tableau précédent est impossible. En effet si Ton a

f{x):^x''itpx^-hqx + r

on a, par suite,

Quand x varie de — », à a, f [x) est toujours positif; /"(x est donc une fonction croissante. Pour iczza, /^(jt) s'annule et change de signe; par suite /'(.r) est une fonction décroissante dans rintervalle a, 3. Il est donc impossible que f[p£) soit négatif, pour a? i=: a ; et positif, pour x zz 6. Le premier tableau est donc le seul que Ton puisse trouver, quand on suppose /*(a) /* (6) <o.

419 8. Applit^tion. Appliquons les remarques précédentes à réquation générale du troisième degré.

Soit

f{x) - vC' -hpx* -^qx + rzi o,

réquation proposée. En divisant /"(ic) par/* (ic) on a

Désignons par a et 6 les deux racines de réquation

3j7* -f- 9.px -h ^ z: o, le calcul nous donne

Effectuons maintenant le produit indiqué dans le second membre et remarquons que nous avons

. + 6=^. et ae = f; nous obtenons finalement, en posant

THÉOKKMK PE ROLLE ."523

„=n.,m=(?-'fyf-(f-^)(.--f)f

La condition nécessaire et suffisante pour que Téquation générale du troisième degré ait ses trois racines réelles est donc

It <0.

Si l'on a ti = o, Téquation a une racine double; enfin, elle a deux racines imaginaires quand on suppose te>o.

4199. Le théorème de RoUe peut quelquefois s'adapter à des cas pour lesquels l'application de ce théorème ne semble pas possible, et^ par exemple, lorsque l'équation dérivée ne peut pas être résolue.

Soit l'équation X zr o,

' Xsi h-: — H •,•

i'" ' (!«/> — i)î' et, par conséquent,

Soit a une racine deTéquation X'=:o; d'après Tidentitc précédente on a

On voit donc que si Téquatipn X'= o a des racines réelles, la suite de Rolle donne constamment le signe +> dans X ; l'équation X = o n'a donc que des racines imaginaires.

o2V TRENTE-CINQUIÈME LEÇON

480. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que f{x) représentait une fonction entière; par suite que /(xjet sa dérivée étaient continues. Cette continuité des fonctions f et f'y est une condition nécessaire et Ton doit toujours s^assurer qu'elle est remplie. S'il arrive qu'une fonction soit discontinue, pour x = x^y on doit séparer la suite de RoUe en deux suites, l'une s'arrètant à x^ — s, Tautre commençant à oTo + e; e désignant une quantité positive, variable, et d'ailleurs aussi petite que l'on voudra l'imaginer.

1 . Appliqtter direct ement le théorème de Rolle atix équations

x' -\-px^ -^^q zzo, S . Appliquer le théorème de Rolle à téquation X = o

On remarque que l'on a