Appliquer le théorème de Rolle à Véquation
i -^ax , i -i-bx i 4- ex ./• — rt '.r — 6 jr — c
On doit observer que la fonction est discontinue pour les valeur» a, b, c de la variable x et appliquer la remarque du paragraphe 48o,
EXËHQCES 52o
Ud Toit alors que a, b, c, séparent deux des raciued. • S. Une équation^ du degré rUf
dont les d'où premiers coefficients vérifient Vinéijalité
(i) (m— i)Af — •i//<AoA,<<>,
a des racines itttag inaires.
On prend la dérivée d'ordre (m — 2)
f"'~*\x):=.m{ni — 1 )...*UoJ?* + (wi — i)...'iA,a;-|-(m — u).. lA,.
Cette équation a ses racines réelles si Ton suppose que Téquatioii proposée a toutes ses racines réelles (§ 47^} ^ on a donc
[!m — 1) . . 3 A,]' — [m (m — 1). . .'>.Ao][(/n — a) •.. ij A, > o
et, par suite, riuégalité(i) est impossible. • • Lorsqu'une équation du troisième degré
x'' -h '^px' -h '^X -f- ?• - o, a ses racines réelles^ on a
p* — q>o et ^'— pr>o.
Ou applique le théorème précédeut à l'équation proposée, et à l'équatiou aux inverses.
ir. SiV =0, représente une équation ayant toutes ses racines réeltes, les équations suivantes
/',nU-h(^--a)U' = o
/•,:^ U -f-3(x' — a)U' -f- {x - fl)*C" = o
^ =: u -f-7 (a? — a)U' -f-6 (x- — a)'U*4- {x — afl" — o
onif aussi f toutes leurs racines réelles .
Chercher l'expression générale de /"„, et montrer quen posant
o2G TKENTE-aNQUlÉAIE LEÇON
on a *
. .1 2.2 -Kl
Ou dciuuiitre cette deruière formule en remarquaat que les coelficieiiU vérifient la loi de récurrence suivante :
La fouctiou f^ est formée en prenant la dérivée de {x — a^f^^i. S. Appliquer le théorème de Rolle à V équation trinôme
X " -hj'jx'* "hqzzo, (m et M imiiairs)
On trouve que 1 équation a une ou trois racines réelles^ suivant que la quantité
nq
est positive ou négative. Si l'on suppose, en particulier, m = 3, /i=:i, ou a la condition connue
pour exprimer que l'équation a:i-\'px-{^qz=o a ses trois racines réelles- 0. Appliquer le théorème de Rolle à l'équation
(i) /'(a-)izj;*-f-J?*-h/*J: — i izo,
et séparer :tes racines.
On considère Tcquatiou
obtenac en posaut
Ou a
&' (x) s: 'io; -h i-h-;
ç {x) est une fonctiou continue pour toutes les valeurs de x, excepté pour x=:o, et toute racine de Téquation (2) est aussi racine de l'équation proposée (i). On remarque aussi que Ton a
et en faisant varier or, i» de —oc à — e; ao de -|- e à -f- <^} on trouve le résultat suivant :
1 -H- A < o ; 3 racines réelles séparées par —oc, — 1, o, +oc. i + X rr o ; i racines égales à — j, la troisième égale à -f- *• 1 -f- A > o ; une seule racine réelle, comprise entre o et+ 00.
