THÉORÈME DE DESCARTES

Le théorème de Descartes, et les corollaires nombreux qu^on en peut déduire, permettent, dans un grand nombre de cas, de reconnaître la présence des racines imaginaires, dans une équation donnée. La démonstration de ce théorème important repose sur le Lemne suivant.

4181. Eiemne. Lorsqu'on multiplie un polynôme f{x) par (^x — a), a étant positif, le produit obtenu renferme 2^-4-1 variations de plus que, f{x).

Nous poserons

-h ¥.x'^^ — I o r' — aj:-'-' ... — /^'.

Cette notation exige quelques explications. 1** Le polynôme est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de a:.

2"* Le premier terme Ao est positif, et Boo;" est le premier

terme négatif, après AqX*".

y C^x^ est le premier terme positif après B^x*^ ; et ainsi de suite.

4® Enfin le polynôme f{x) se termine par un groupe de termes et, pour fixer les idées, nous avons supposé ces termes

négatifs. Ce groupe possède un premier terme, — L^x^ ; lequel est, selon les exemples^ suivi, ou non, d*autres termes. Dans le cas où le dernier groupe renferme plusieurs termes, — X ic* désigne le dernier d'entre eux.

THÉOllÈME DE DESCARTES 529

En résumé^ et d'après ces conventions: i® les signes des coefficients sont en évidence; ^^ les lettres A, B, ... K; a, ... a désignent des coefficients qui, suivant les cas, sont nuls, ou différents de zéro; mais les Mires Âq, Bo^ •.. To, désignent des nombres positifs ; 3® quand les coefficients a, ... X, ne sont pas tous nuls, on suppose "k^o.

Ces explications étant données, soit posé

On a donc

5(ar)=A^'"'*''...--B.