X ... \~\ax
-Ko
Comparons maintenant les polynômes f{x) et ç (x).
Entre les termes Aox*" et — BoJj", il y a, par hypothèse, une variation dans f{x) : entre les termes Aoj/'*"^* , — (Bo 4- Ao) x"^' i il y a dans 9(0;) une variation, au moins; et cette conclusion peut être formulée, également bien, en supposant A = o^ ou A;zf o.
Le raisonnement précédent peut se répéter dans les polynômes f{x) et ç (x), pour les groupes qui se correspondent, deux à deux, jusqu'à ce qu'on arrive aux derniers groupes qui exigent un examen particulier.
La comparaison que nous venons de faire de f[x) et de ? (x) prouve que, jusques et y compris les termes,
— LoJ?', dans f{x) ; — (Lo + Ka) or'^S dans ç (a?).
il y a, au moins, autant de variations dans f (x), que dans f{x).
D^autre part, si tous les coefficients a, . . X sont nuls, il y a
dans 9 [x) une variation qui n*existait certainement pas dans /■(x), savoir celle des deux termes
— (Lo-f-K«)x''', 4- aLox'.
530 TIIENÏESIXIÈME LEÇON
Si, au contraire, tous les coefficients a, ... X^ ue sonl pas nuls, on a, notamment, X;zf o; et la comparaison des deux derniers groupes
— Lox' — xr'~* ... — /a*, de f[x\
I — (Lo-hKa)a;'"'"* . . -f \ax\ de 9 (x)
prouve que le premier n*a atœune variation, mais que Tautre en possède une au moins. Ainsi, dans tous les cas, il y a plus de variations dans ç (x), que dans f[x).
Il est d'ailleurs facile de voir que celle différence esl un nombre impair.
En effet, si le dernier lerme de /'(.^O est négatif, le dernier terme de <f (x) est positif, ou inversement. Si Ton compte successivement les variations de ces deux polynômes on trouvera donc deux nombres de parités différentes ; en d^autres termes, leur différence est un nombre impair.
4189. Théorème de I^escartes. Le nombre des ratifies positives d'une équation f{x) no, est inférieur, ou tout an plu^ égalj au nombre des variations que présente lepolynùm ordomié f[x).
La proposition est évidente d'elle-même, sll n*y a aucune racine positive. Supposons donc que Téquation admette d^ racines positives que nous désignerons para,, ......a^; et posons
U désignant une constante, ou un polynôme entier dont W premier et le dernier terme ont, nécessairement, le mèmtr signe. En effet s'il en était autrement, Téquation U =: o admettrait une racine entre zéro et + x.
Le polynôme U n'a donc pas de variation, ou en renferme un nombre pair. Nous désignerons ce nombre par 2ib, k pouvant être nul.
La multiplication successive par les binômes x — a,, x h X — ap, introduit des variations, savoir:
THEOREME DE DËSCARTES 531
Le nombre total des variations est donc donné par la formule
k^k^,..kp] désignant des nombres positifs, ou nuls. On a donc^ finalement,
R étant un nombre positif ou nul. C'est cette égalité qui constitue le théorème de Descartes.
Il est visible que si Ton applique ce théorème, à Téquation /'(— a;) n 0 ; N désignant le nombre des racines négatives de l'équation f(x) zz u, et V le nombre des variations do la transformée en — X, on a
K.' désignant un nombre positif, ou nui.
COROLLAIRES DU TUÉORÈMË DE DESCAHTES
4K$3. Corollaire 1. La différence {m — V — V) est éyale à zéro, ou à un nombre pair.
Nous conserverons les notations adoptées précédemment (g 370). Le théorème de Descaries donne les deux égalités
V — PIZV.K V— N-9.K'.
On sait d'ailleurs que Ton a
U en résulte,
P -h N + I — V — V — iK" — ik' — iK ou
532 TUENTE-SIXIÈME LEÇON
Le nombre V -f- V est égal ou inférieur à m (g 371), par suite K' — K' — K est un nombre positif, ou nul. Nous pouvons donc poser
itSift. Corollaire U. Lorsque la différence {m — V — V) n'est pas nulle^ mais égale à 2jjl; il y a, au moins, a;/, racines imagiîiaires dans réqualion proposée.
Les égalités
V — P=iK
V — N =: 2K' m — y — \' z=. -ijjL,
donnent
m — P — N=:2(K + R' + ix),
ou
I=:2(K + K' + ix),
ou, enfin^
I > 2li..
418&. Corollaire 111. Lorsqu'une équation a toutes ses racines réelleSf on a i«> V n F, 2® V = N. Les égalités
donnent
