I-(V — P)+(V'— N) + (tn— V — V
D'ailleurs (V — N), et (m — V — V), sont des quantités positives, ou nulle?; on a donc
I > îiK.
4189. Corollaire \, (Réjçle de Starm). Si, en multi^ pliant /"(x), par x — a,on introdxiit ik + 1 variations ; il y a, ou moins^ 9.k racines imaginaires dans Véquation f{x) zz o.
Posons
o{x) = {X''a)f{x), et considérons l'équation
Si Ton désigne par V le nombre des variations du polynôme/* (a:), réqualion (1) admet V + afe-i-t variations, et P-f-i racines positives. I.a différence de ces deux nombres est
r,H TRENTE-SlXîfiME LEœN
ol comme (V — P) est un nombre positif, ou nul, il y a donc, (1* f^^0> ** racines imaginaires, au moins, dans Téquation
et, par conséquent, dans Féquation proposée f[x] zz o,
4189. Corollaire VI. (Théorèmr des ÎB.euwà^s,) Lorsqu'une équation présente une lacune, elle admet, au moins, autant de racines imaginaires qu'il en existe dans Véquation obtenue en égalant à zéi*o Vensemhle des deux termes qui constituent la lacune considéi^ée.
une équation présentant une lacune de q termes entre
Hrr''^^'^'et rF,r''.Nous allons compter les variations qui peuvent exister dans les parties i, 2 et 3 ; et dans les parties correspondantes 1', 2% y ; de la transformée en [—x).
1» Dans (1), si Ton met j^^"^* en facteur, on obtient un polynôme d'un degré égal à m — p — q— i : le nombre total des variations des parties i et i' est donc égal, ou inférieur, à (m ^j) — q — 1).
2« La même remarque, appliquée aux parties 3 et 3', donne pour ces deux régions, un nombre total de variations, qui e>l tout au plus égal à p.
30 Étudions maintenant les variations qui peuvent exislrr dans les parties 2 et i\ et distinguons deux cas, suivant que la lacune est paire ou impaire.
L'équation obtenue en égalant à zéro l'ensemble des deux termes qui constituent la lacune est, abstraction faîte du
facteur .tP,
(2) H.r^^' -f. ir z= o.
Si q est un noml)re pair, celle équation binôme admet une
THÉORÈME DE OESCARTES :>:t?i
seule racine réelle. On voit aussi que dans les parties 2 et 2' il y a une variation.
Dans cette hypothèse, le nombre total des variations de f{x)eX def[—x) est, donné par l'égalité,
Il y a donc, dans Téquation proposée, au moins q racines imaginaires. D'ailleurs l'équation (2) n'ayant qu'une racine réelle, admet q racines imaginaires aussi, et ceci vérifie la proposition, dans le cas de la lacune paire.
Prenons maintenant le second cas, celui où la lacune est impaire. Si II et H' ont le même signe, il y a zéro racine réelle dans l'équalion (2), et zéro variation dans 2 et 2'. Le nombre total des variations est alors {rn—p — ^— i)+p, ou m — q — 1. 11 y a donc, au moins (^+1) racines imaginaires dans l'équation donnée, et il y en a aussi (9 4-1) dans l'équation (2). Enfin, si II et H' ont des signes contraires, il y a deux variations dans les parties 2 e^ 2' ; il y a aussi deux racines réelles, et par conséquent (g — *) racines imaginaires, dans l'équation (2). Le nombre total des variations est alors (m—p—q—i) -\-p H- 2 ou tn — y + 1. Par suite il y a (y — 0 racines imaginaires, au moins, dans Téquation proposée : il y en a aussi {q — i) dans l'équation (2). Le théorème des lacunes se trouve ainsi établi dans tous les cas.
Lorsqu'une équation présente plusieurs lacunes, il est bien entendu qu'on doit appliquer le théorème précédent à chacune des lacunes.
itSU. Parmi les conséquences qu'on peut tirer immédiatement de ce théorème, nous citerons les deux suivantes qui sont fréquemment invoquées :
1» fS'il manque un terme, entre deux termes de même signe ^ il y a des racines imaginaires.
2» S'il manque deux termes consécutifs, il y a aussi des racines imaginaires.
Mais, le plus souvent, le théorème des lacunes est appliqué d'une manière indirecte et nous allons montrer cette applica-
tion indirecte, sur des exemples divers. Ces corollaires reposent sur une idée très simple, que Ton peut formuler ainsi : lorsqu'on multipliant f{x)y par 9 (a;), le produit étant effectué, on obtient une lacune qui révèle la présence de racines imaginaires dans réquation
il existe certainement des racines imaginaires^ dans fèqmtion /* (a:) — o, sHl n'y en a pas dans V équation o (.r) — o.
Le théorème suivant est une application de ce principe srénéral.
iftOO. Théorème. Si q coefficients consécutifs d'une équation f(x) ■=: o,
vérifient, pour deux valeurs consécutives de p, la relatimi
et si réquation o {x) zz o,
o (x) zn a^iC^~'4-a^,a?^' 4- . . . -h a,iF + a,
w'a que des racines réelles, réquation f{x) zz o, a des racini'^ imaginaires {*).
En effet, dans le produit effectué \f{x), <^{x)], le coefficient
du terme en x'""^ est
1. Journal de mathématiques spéciales, i883, p. j.k (Nut«' i^ur le thé'trrtii'' tie Descartes, par M. Walecki.)
