THÉORÈME DE DESCARTES
et celui de x'^'P"^
Ces deux coefficients sont nuls, par hypothèse. D'après la propriété que nous avons établie, tout à l'heure {% 4^9)» il y a donc des racines imaginaires, dans Téquation proposée.
iftOl. Corollaires. Du théorème précédent découlent diverses conséquences ; nous indiquerons seulement les deux propriétés suivantes :
1® jS"* iroù termes consécutifs sont en progression géoinètriquCy il y a des racines imaginaires (théorème de M. Hermile).
En désignant par t la raison de la progression^ on multiplie f(x), par (i — /x).
'k^ Si quatre termes co)isécutifs sont en progression arithmétiquCy il y a des racines im,aginaires.
Dans ce cas, le facteur ç(,r) est égal à (i — -aa? -f-^').
499. Théorème de Badan. Étant donnée une équation f{pc) — o, du degré m, qui a tontes ses racines réelleSy si dans la suite
on substitue successivement à .r, les nombres a et 6, (a < ê) ; il existe^ dans V intervalle (a, g), autant de racines réelleSy qu'ail // a de variations perdues dans cette suite, quand on compare les résultats des deux substitutions (*). Posons
1. Le théorème donné parBudanct par Fourier est plu» général que celui qin» nous venons d'énoncer. Budan ot Fourior ont montré que le nombre dos variations perdues était supérieur, ou é^al, au nombre des racines réelles comprises dans Tintervalle considéré. Le théorème de Sturm ne lais^so pins ^ère d'intérêt, qu'au cas particulier qui noua occupe ici.
.;:{S TRKNTF-SIXîfiME LF/;(»\
I/équalion transformée est
Cette équation a toutes ses racines réelles ; par suite, elle admet autant de racines positives qu'il y a de variations dans la suite
En désignant par z^ le nombre des variations de la suite
(A), pour xzzoL^ on voit donc que le nombre des racines supérieures à a est égal à z^. En appliquant cette remarque à la
valeur ^, donnée à x, on voit, finalement, que les racines comprises entre a et ^ sont comptées par les unités de la différence {z^ — z^,
4103. Remarque de Jaeobl. Nous ferons ici une dernière remarque, laquelle a pour but, comme le théorème précédent, de rechercher le nombre des racines comprises dans un intervalle donné (a, 6), lorsque l'équation considérée a toutes ses racines réelles.
Soit f{x) zz o, réquation proposée : et soit posé
I/équalion transformée ç (y) i= o a toutes ses racines réelles. Si elle présente 0 variations, par conséquent, si elle a 0 racinos positives, la formule de transformation indique qu'il y a 0 racines de réquation f(x) n o, dans Tintervalle (a, 6).
i . Appliquer h Ihéorhnr des laaines à réquation
Ou multiplie Jps» doux mombres par ar' — j.r 4- 1 •
EXERCICES ;:i!'
it. Loi'Sffue /^* h'oi.f premiers ODefficienisfCuneéqiuition^rhi thfp^é m^ snni \
m 'm — I I. fn, f^tie éff nation a des racines imaginairea .
On remarque que ]>quation proposée peut être écrite soiiî* !n forme
3(j-) di'':«i;bfuaat une fonction endcpc du degré (m — 3), tout au plu». En posant jr-]- j i:://, le théorème dos Inciine» rt'îvèli' la présence des racines imaginaires.
3. Si quatre coefficients cvtséctftifs .«o/i/ A. B, A, li; l' équation proposée admet des racines imaginaires.
On multiplie par (>* — . i ) .
4. Si 3 A, — A, — A, 3 A désignait quatre coefficients consécutifs (Tune équation j celle-ci possède des racines imaginaires .
On multiplie par x*-^^2x-\-\,
5. Lorsqu'une équation a toutes ses racines réeltes, si Von désigne par I*, Q, R irvis coefficients consécutifs quelconques^ on a toujours
