HL)-^A1) B'B + A'A
568 TRENTR-HUITIÈME LEÇON
Cette égalité a lieu pour les valeurs absolues des lignes qui y figurent.
L'ordonnée BB' est négative, et elle est égale à /* (3) ; on doit donc remplacer BB' par — /•(^). Il vient alors
En désignant par !f , la correction que Ton peut faire avpo cette formule, on a donc
II — /-i \ ' ^'^^
La nouvelle valeur 3( est
ou
On peut vérifier que cette formule convient aux dîfférenls cas qui peuvent se présenter et qui correspondent aux figures (4), (5) et (6).
On peut aussi reconnaître que les nombres 3i> h«» ••• 3« forment une suite décroissante; et que Ton a lim (3») zzx'. La démonstration de cette propriété est semblable à celle que nous avons donnée plus haut, pour les nombres a.
L'emploi simultané des deux méthodes, permet d*évaluer n chaque instant une limite de Terreur commise. On a en effet, en posant e, ir x' - a, ,
el, généralement.
MÉTHODES DAPPROXlMATiON 569
&1&. WÊééhmûe de Kmgrmnge. La mélhode d'approximation de Lagrange est une application des fraclions continues.
Supposons d*abord que les deux nombres entiers consécutifs a et a-fi, séparent une seule racine de lëquation /'(a?) = o.
Ayant posé a? — a -f- -, la transformée en y,
hi)-
n'admet qu'une seule racine supérieure à Tunité. En effet, si cette équation admettait deux racines y^ el y^ plus grandes. Tune et l'autre, que l'unité, on aurait, pour Téquation proposée, deux racines dans rinlervalle a, a -fi ; ce qu'on ne suppose pas.
I/équation en y est
ou
En substituant, successivement, i, 2, 3, ... on trouvera deux nombres consécutifs 3, 3 + «> donnant des résultats de signes contraires. Nous poserons alors
L'équation transformée en z, pour In raison déjà donnée, n'admettra qu'une seule racine supérieure à l'unité.
En poursuivant ces calculs, malheureusement pénibles, on obtiendra le développement de la racine cherchée, en fraction continue.
Il nous reste à examiner le cas où plusieurs racines de Té-
:î10 TIŒNTE-HriTIÈME LEÇON
quation f{x) - o sont comprises entre deux nombres eoUers, consécutifs, a et a + » •
Si cette circonstance se présente, on remarque qu'en multipliant deux nombres incommensurables, par une puissance de 10, on peut toujours obtenir deux nouveaux nombres, n'ayant pas la même partie entière. On opérera donc sur réquation
et Ton verra si les nombres
séparent les racines de cette équation. Si Ton trouve encore qu'il existe plusieurs racines, dans Tun de ces intervalles, on
considérera l'équation ç( — )=o, sur laquelle on opérera
comme il vient d'être dit. Ainsi, du moins à un point de vue théorique, on peut toujours» en appliquant la méthode de I^grange, obtenir le développement d'une racine incommensurable d'une équation numérique donnée, en fraction continue.
