PARTIE THEORIQUE

&1B. Défliiitions. On appelle fraction rationnelle le rapport -, de deux fonctions entières U et V, de la lettre x. Parmi

les fractions rationnelles, on distingue particulièrement celles dans lesquelles U désigne une constante» et V la puissance entière d'un binôme mx + n ; et aussi celles qui ont pour numérateur un binôme de cette forme, et pour dénominateur une puissance entière d'un trinôme du second degré x^-^px -\- q, ce trinôme n'étant pas décomposable en facteurs réels du premier degré.

Nous nommerons fractions simples ces fractions rationnelles particulières, et nous supposerons formellement que les coefficients m, n, p, q sont réels.

Décomposer une fraction rationnelle —, en fractions simples,

c'est trouver l'identité suivante - is: W ; W, désignant une somme de fractions simples. LMdentité

.> — 'Sx 1 1 2

donne un exemple particulier, et facile à vérifier, du problème que nous allons traiter.

Il sera entendu que les polynômes considérés ont des coeffi-

eients réels, et que - est une fraction proprement dite ; c'csl-

à-dire que nous supposerons formellement, dans les développements qui suivent, le degré de V supérieur à celui de V. S'il en était autrement on devrait, avant tout autre calcul, effectuer la division de U par V, et après avoir établi Tîden-

tité,

r = VQ -f R, ou

on appliquerait les procédés de décomposition, que nous allons

exposer, à la fraction proprement dite r*,. Enfin, la fhiclion

considérée sera suposée irréductible. Si les polynômes U et V n'étaient pas premiers entre eux, on devrait simplifier la fraction proposée, en divisant ses deux termes par leur plus grand commun diviseur.

&19. DéfNmipositioii des fraetions de la

. Soit \]^f(x)y f(x) désignant un polynôme du degré;).

Conformément à ce que nous venons de dire, nous supposons .

On a

nx)^f\a Ko? -a)] et, par suite,

i —f(n)^ — ^ — rw + ■»«">-" r{à).

On en déduit

(x-^af (a? — a)* (a? — /?)«-' (a? — a)*"^

LES FUACTIONS 11 ATI ON N ELLES 57S

Il en posant

(,•) x.=rw. .,.=CSn.....y,=m.

La formule (i) donne donc la décomposilion, en fractions simples, de la fraction rationnelle proposée; nous allons montrer que cette décomposition n'est possible que (Tune seule façon.

On reconnaît, en effet, sans difficulté :

i^ que toute décomposition en fractions simples de Texpres-

U sion , ne peut êlre faite qu'avec des fractions dont les

(x — a* dénominateurs sont des puissances de {x — a) ;

2"* que Texposant du dénominateur de la première fraction ne peut être différent de x ;

3» que le numérateur de cette fraction est égal à A, ;

4^ que les numérateurs des fractions suivantes sont respectivement A„ ... A„.

&18. DécNNiiposiCioii des fmcCions de la fome

T. Nous supposons, dans cet exemple, que U dé-

signe un polynôme d*un degré inférieur à ihy et que Téquatien Tz:o,

'ï:^x*^px + q\

a ses racines imaginaires.

On peut, par des divisions successives, former le tableau suivant :

En multipliant ces identités, respectivement, par

r^li' rp/.-l' ••• 'l^»-

3n TRENTE-NEUVIÈME LEÇON

on a

Si Ton observe que :

lî est tout au plus du degré 2A — i , l\ 2A — :^,

on voit donc que Pidentité (a) donne la décomposition cherchée.

Je dis maintenant que cette décomposition n*est possible que (Tune seule façon.

Il est facile de reconnaître d'abord que cette décomposition ne peut être faite avec des fractions simples qui renfermeraient un dénominateur non identique à T*'.

On voit aussi, très aisément, que Texposant A' doit élre égala h. Il reste à montrer que les numérateurs des fractioDS simples obtenues dans les deux décompositions considérées sont, deux à deux, identiques.

Supposons donc que nous ayons

ri\ft rntt '

si nous chassons le dénominateur commun 1"^, nous avons

Soit « + gi, Tune des racines de Téquation T — o ; TideiiUté précédente prouve que Téquation du premier degré

LES FRACTIONS RATIONNELLES 51 o

admet les deux racines a -f- 'fii, a — ge. Ceci ne peut avoir lieu* que si Téquation précédente est une identité. On a donc :

On prouve ainsi, de proche en proche, que les numérateurs des fractions simples sont, deux à deux, identiques.

&1 9* Théorème fondanental. Soit-— --, une fraction

rationnelle proprement dite; si V et \V désigtient deux polynéfnes premiers entre eux, on peut toujours trouver deux polynômes entiers P et Q, tels que Vouait

vw ■~v"^\v'

- et ^,, étant des fractions proprement dites, et irréductibles. V \\

Cette décomposition n* est possible que d'une seule façon.

Nous diviserons cette démonstration en deux parties.

!• La décomposition est possible. En effet les polynômes V

et W étant premiers entre eux, nous avons montré (g 397)

rju'il existait deux polynômes entiers Pet Q, vérifiant Tidentilé

>ous avons donc

U UP Ql VW ■" V ^ W

Les fractions -77-» tzt peuvent être supposées irréductibles ;

car, s'il n'en était pas ainsi, nous pourrions, sans troubler

ridentité, opérer cette réduction.

Si ces fractions sont proprement dites, le théorème en

question se trouve établi. Si non, effectuons la division du

numérateur par le dénominateur et nous aurons