LES FACTIONS RATIONNELLES
Kri effet les identités (A) et (13) dorment
ou
Toute racine a deTéquation V — o annule le second membre, puisque V et W sont des polynômes premiers entre eux. Mais P et P' désignent des polynômes d'un degré inférieur à celui de V ; or il est impossible que les racines de Téquation V = o appartiennent^ avec leur degré de multiplicité, à Téquation P — P' zr o, à moins qu'on ne suppose P — P'3: o. On a alors Q ~ y'zz: o, et ceci montre que la décomposition n'est possible que d'une seule façon.
&ftOm Théorème. Une fraction rationnelle est toujours décomposabie en fractions simples ; cette décomposition n'^est possible que d'aune seule façon.
Soit — la fraction proposée- D'après le théorème de d'Alem-
bert (§358), si Ton désigne par a,, a„ ... a les racines réelles de l'équation V n o, et, par a,, a„ ... a^, respectivement leurs degrés de multiplicité, on a .
l'équation V, = 0, n'ayant que des racines imaginaires. Nous savons d'ailleurs que le polynôme V, est décomposabie identiquement en facteurs réels du second degré, T,, T,, ... T,^
affectés d'exposants i3,, g„ ... fi^. Si nous posons
T, =r jc* -h m.o: H- n„
nous avons
V,s:Tf«T^ ... Tf/h et, par suile,
V = (x - a,)°^t (X - a.)*i . . . (x ~ ap)*/'T?' 1'?^ . . . tJ*'/ .
Cette remarque étant faite, soit
les polynômes (x — a,)"* et W sont premiei'â onlre eux. On a donc (§517)
D'autre part, on a , (i 5 1 7)
/•.(^) Al ^ . ■^«' .
On peut observer ici que le cocfflcient a{ élant é^al à /i (« ,), on a A| ;zf 0 ; mais les autres coefficients Ai> ••• A^ peuveni,
suivant les exemples, être nuls, ou différents de zéro.
En appliquant ce raisonnement, successivement, aux binômes {x — a^)^^, (j? — aj"*, ... (x " a^fPy on aboutit à lidentité suivante :
• lî A* Ai
(X— aj"^ ^~«.
AV aî;
LES FRACTIONS RATIONNELLES im
Ce premier résultat étant obtenu, soit V, = T?i V,. Les polynômes Tf* et V, étant premiers entre eux, on peut poser,
On a, d'ailleurs, (§5 18)
et Ton doit observer ici que les coefficients P^, Qi ne sont pas nuls à la lois. En effet, si cette circonstance se produisait, l'identité précédente, après avoir chassé le dénominateur commun Tf», s'écrirait
6 (x) désignant une fonction entière. Il résulterait de là, que ?, (x) serait exactement divisible par ïj, ce qui est contra-
dictoire avec Tliypothèse, la fraction ^^—- étant irréductible.
Tf 1
En répétant ce calcul^ successivement, sur les trinômes T,, ... T^, on a ce second résultat : .
•iKO THENTE-NELVIÈME LEÇON
Ea ajoulant les identités (i) et (t»), on obtient la décomposi-
tion de -^ en fractions simples et on peut remarquer, pour les
raisons données plus haut, que les fractions écrites dans la première colonne de ces identités ne sont pas nulles.
&59f . Théorème. On peut toujours décomposai* une frac-
tion rationnelle^ en fractions simples du genre , si Von
admet que a et k peuvent représenter des expressions imaginaires.
Soil -la fraction proposée et soit a une racine imaginaire,
de multiplicité ^, de Téquation V = o. Posons
V = (ic-ay^(a;), et [::^/{x); nous avons
V (x — af { (x — àf^ (x) {x — a/ ) ou, encore,
V {x — aY {x — a/<f [X) Disposons maintenant du paramètre A, de façon que Ton ait
Celte relation donne pour A, une valeur bien déterminée et qui n*est ni nulle, ni infinie, puisque nous supposons /'(a);zf «, et aussi ? (a) ;zf o. Pour cette valeur de A, valeur que nous désignerons par a, + g,/, la fonction /'(jj) — A<p(a;) est divisible par (x~a), et nous obtenons, en posant, /"(x)'— A5(a:)s (x — a)/", (o;),
V {x—a/- {x — tf)' 'g(x-)
LES FlUCTIONS HATIONNELLES 581
En opérant, de même, sur la fraction ' ' , nous
(x-ay-'^{x)-
obtiendrons la décomposition de la fraction —, par la formule
11 est peut-être bon de noter la marche que nous avons suivie^ pour la démonstration du théorème qui nous occupe ; parce que le procédé de calcul, que nous venons d'exposer, rentre dans une méthode générale de l'analyse, méthode que nous avons signalée au début de ce livre (g lo), et que Ton nomme méthode des coefficients indéterminés.
