PARTIE PRATIQUE

Calcul des etieffielenÉs. — Appli<Mitlons.

Les calculs que nous avons exposés, dans la première partie de cette leçon, pour établir la possibilité d'effectuer la décomposition, en fractions simples^ d'une fraction rationnelle donnée, constituent, évidemment, une première méthode pour calculer les diflférents coefficients inconnus, qui entrent dans les numérateurs des fractions simples cherchés. Mais nous allons indiquer d'autres procédés de calcul donnant ces coefficients par des voies qui sont, ordinairement, plus courtes.

Nous distinguerons quatre cas, suivant la forme algébrique du dénominateur V.

&^iS9. Premier cas. V équation V zzo n^a que des racines simples et distinctes,

Soil - la fraction proposée.

Posons

En désignant par A,, A„ ... A^, des coefficients indéterminés, on sait que pour des valeurs convenablement choisies pour ces coefficients, on a

On déduit de cette identité,

En remplaçant, successivement, x par a„ a„ ... a^; on a

&5t3. Remarque d^Euler. On doit à Euler, sur le sujet qui nous occupe, une remarque intéressante et qui simplifie souvent le calcul des coefficients A.

De ridentité

\:3s:[x - a,)(^— rO ... [x — a^], on déduit

V'=:S(.r — rt.) ... {x — a^),

et, en remplaçant x par a,, il vient On a donc

et, de même,

On peut donc dire que les coeflScienls A s oblicnnout en

LES FRACTIONS HATTONNELLES 583

prenant le rapport —, et en y remplaçant, successivement, la

lettre x parai, a„ ... a^. C'est cette observation qui constitue la remarque d'Euler.

&5^ii. Deuxième €î«s. L' équation Y ::zo admet une racine réelle de multiplicité a ; (a> i).

Désignons toujours par -- la fraction donnée et posons