V:s:f{x) et Vs(a:— af<p(a
En développant, par la formule de Taylor, les expressions
f[a -h (x — a)l, et ? fa + {x — a)], nous avons
Posons maintenant j: — a = X (') et divison?, Tun par Taulro, les deux polynômes P, Q,
o'{^\ s*' fa)
Qs?(a)+XÎ-^4.X*i^^H-...
On sait (note A, g 5) que Ton peut pousser aussi loin que Ton veut la division de ces polynômes ordonnés par rapport aux puissances croissantes de X. Nous arrêterons Topération après
avoir obtenu, au quotient, le terme en X*"'. On sait aussi
i. Ce chaDgPinent de notation est adopté ici^ pour donner plu9 de clarté à Texposition de la méthode. Évidemment, il n'est pafi nécessaire de s*y k^umettre, dnn» la pratique; il snf6t de considérer (.t— a) comme représf*nlant une lellpe.
584 TRENTE-NEUVIÈME LECION
(noie A, § 3) que le reste obtenu, à cet instant, est de la forme
X"R, R représentant une fonction entière de X. En désignant par A,, A„ ... A^, les coefficients du quotient, on a donc
et, par conséquent,
ou enfin
^ {x-af {x-af-' .-^-û Q
Dans ce développement, il feut observer que — est une frac-
lion proprement dite. Op peut reconnaître ceci par des moyens divers et, notamment, en supposant que x croît au delà de toute limite.
&9&. Troisième cas. L'équation V = o admet une r^acine imaginaire simple.
Supposons maintenant que l'on ait
T désignant un trinôme du second degré qui, égalé à zéro, donne une équation dont les racines sont imaginaires et Qu'annulent pas le polynôme o{x). D'après ce que nous avons vu plus haut (^519), on a
Et il faut déterminer A, B ; puis f^ [x). L'identité précédente peut être écrite ainsi :
(1) r{x)^{kx-^h)^[x)^ir,[x).
LES FRxVCTIONS RATIONNELLES 585
Soit a -f gi une desl^cines de Téqualion T r: o, et soit posé
— — m-j-ni.
En remplar.nnt, dans (i), x par i.-k-'^i il vient
w -h ni zi Aa + B -h Ag/, et, par conséquent,
(2) m zz Aa -h li,
(3) n n Aji.
Il faut d'ailleurs remarquer ici que les paramètres m et n ne sont ni infinis, ni nuls simultanément : ceci résulte de ce que Ton a <? (a -+- g/) pif o, et aussi /"(a -h ?0 ;z^ o.
Les égalités (2) et (3) déterminent A et B. En effet g étant différent de zéro, on a, d'abord,
puis,
Bzrwi .
Quant à la troisième inconnue, la fonction /,(.r}, elle se détermine, après lo calcul des coefficients A et B, au moyen de ridentité
- . /'(.r^. — (A.r-l-B)?fj-)
/ 1 V^) rn
La division, indiquée dans le second membre, doit se faire exactement; et celte opération peut, précisément, servir de preuve aux calculs qui ont été feits pour déterminer les valeurs de A, et de B.
&9S. Quatrième cas* Véquation V = o admeiune racine imaginaire mtiilîpir.
•isrj TRENTE-NEUVIÈME LEÇON
Dans ce cas, la mothode des coefficients indéterminés est, dans le plus grand nombre des cas, celle qui conduit au but par la voie la plus sûre et la plus directe.
D^ailleurs nous indiquons plus loin d'autres méthodes de calcul qui s'appliquent avantageusement à certains exemples.
&99 . Exemples divers de déeompf^sition de inuv Uons rationnelles.
1" Cas. — Décomposer la fraction
{x — i)(«r — 2) ... {x —p)' Soit posé
F ^ic)=:(a;— i)(a?— «) ... {x — p)\
on en déduit
et, par suite
La remarque d'Euler (§523), donne le résultat suivant,
^''>''P __, .«-1 P ,, xp-2/>(/>— «ï
-^^^(-ir'-Ji-+(-*r
(J* — Ofj-— 2) ... (OT -p) iC— 1 '^ ^ I
a? — 2 1.2 ic — 3 X — p
ft^ Cas. Décomposer la fraction
(a; — rt)«(,r-6)f*
LES FRACTIONS RATKïNNELLES .^81
On peut trouver le développement de y^ en fractions simples, en suivant la méthode indiquée plus haut; mais nous voulons mettre à profil cet exercice pour faire connaître une manière, souvent utile, d'appliquer la méthode des coefficients indéterminés.
Posons
./• — n f ^ iA'ii ' ,
et
nous avons
Si, dans celte identité, nous faisuns xzza, nous obtenons d'abord A,,
A, zz(a~ /;)-?.
Prenons maintenant les dérivées des deux membres de l'idenlilé (i), nous trouvons
(2) - 3(0;— 6)-P-' zz A.+ 'iA, (a* -a) -f ... + (a- 1) \J.r^ar-'-h{x - «)«-' r„
en posant Faisons or — a, dans Tidentité (2), nous obtenons
^la-ôrf^-'zzA,.
588 TREXTE-NEUViftME LEÇON
Si nous calculons ainsi successivement les dérivées, nous avons finalement :
A» izi ■■ ^ es 9 etc. . •
Quant aux coefficients B, ils se déduisent, de ceux-ci, parla permutation des lettres a et h, d'une part ; a et 3, d'autre part.
^^"^ et 4I"'*' cas. Supposons, enfin, que le dénominateur V de la fraction rationnelle donne une équation V m o, ayant des racines imaginaires. Une des méthodes les plus simples que Ton puisse adopter pour effectuer la décomposition est celle que nous avons indiquée plus haut, dans la partie théorique de cette leçon.
Soit, par exemple,
Nous avons
it* -f- a =: (j;' — j'-f-i j (.r* -f- x) ~ .r -h a, X' -H .r :s: (.r* — j^ -f- « ; . « -f- {'^x — i ).
Multiplions la première par
[x^ — x-^-xf la deuxième par
[x' — x+ 1)"-* et nous obtenons le résultat demandé :
&SSI. Applications de la décomposition des ffractiofis
LES FIUCTIONS UATIO.NNKLLKS oW
rationnelles. La décomposition des fractions rationnelles en fractions simples est, comme on Ta vu, un problème dont la solution est élémentaire ; mais les applications de cette décomposition ressortent principalement de l'analyse supérieure. Les exemples qui suivent, choisis parmi les plus simples, ont pour but de montrer le caractère ordinaire de ces applications. !«' Exemple. Trouver la dérivée 7"'' de la fonction y,
x' — '^x^ -hJo^ + '^J^ — 2X* -hx' — X — 1
On s y évidemment,
^{x) désignant une fonction entière du degré 6; il importe de faire cette remarque, pour pouvoir conclure que la dérivée ;"'« dey, ne renferme pas trace de la fonction 9 (x). Il est donc inutile de la calculer, si Ton peut déterminer les coefficients A et B,
sans connaître ©(y). Or ce calcul est possible, comme il est facile de le vérifier. On a, en effet,
x"^ —'Sx^ -h x*^ + :U-^ — 2X-* -+- jj* — X- — i = ix - i){x - 2) ^ {X) H-A(x — 2) + B{x- 1).
En faisant x- — i, puis x = 2 ; on trouve
A = I, et B — I.
On a donc
X — i ' X - 'l ou
et, par conséquent,
•iOU TRENTE-NEUVIÈME LEÇOX
*« Exemple. lYouver la dérivée cTordre u, de la fonction
y r: arc Ig x.
On a, d'abord,
Décomposons le second membre en fractions simples, ayant des coefficients imaginaires ; nous avons
et, par conséquent,
On peut ensuite, si Ton veut, développer les expressions
(x-i)" et(a;H-i)'*, par la formule du binôme; Pimaginaire i disparait alors de l'expression trouvée. 3* Exemple. Trouver la fonction, ]jrimitive{^) de y\
X ( 1 — xf
Si Ton observe: i*» que la primitive de la fonction '^
est égale à -— —;, quand on suppose WyCîi : a* crue
( I — m) (il — a) - ^
la primitive de — — est L (w — a) ; on voit tout le parti que
Ton peut tirer de la décomposition d'une fraction rationnelle, en fractions simples, pour la recherche des primitives des fractions rationnelles.
Dans rexemple que nous avons choisi, la décomposition de
1. La priuiilivc dune fuiRlioii /(x), e:?t une fuuction F{x), telle que l'un
Hit P{x)^r{x).
ËXËUCICES u9i
y' cil fractions simples se fait, iiumédialement, en remarquant que Ton a
En effticluant la division indiquée, on trouve
La primitive demandée est donc,
f. Uémonlrer f/ue si Von pose
on a
il I
Eii ilrc.ouiiiosuiil r: — Cil fraction:- s»iiiip!e:j, on Irouvi*
F(ic) X' — a '" a; — r
ou
.=SjT7^(X— 6)...(x-0.
De ceUe ideutitc on déduit l'égulitc pi-opos«ie, ot beuucojp d'autre^i
59i THENTE-NELVlÈiME LEÇON j
1t. Suit f{j:) un polynôme du degré m — a, ou d'un degré infêrieuà,. «, 6, . . / désignant m nombres différents^ démontrer que l'on a
fia) ■
On peut résoudre cet exeirieo en eousiilérmit lu fructiuu rationiielle i
et eu raisoiuianl coiniiie nous luvous iudiqué duus Texereioe précédeut. 3. Décompijsery en fractions shfiples, l'expression
Ou posera
A, A, A, Mj7 4-N
on trouve
P-hg—i A P*-f-^' — 3;> — 3g-|- i '
Enfin M et N se déterminant par Tégalité
et Ton doit distinguer différents cas, suivant la pariti' d#^' nombres entiers^ p et (j.
4. Démontrer que si Ur=(), désigne une équation du troisième degré , ayant ses racines distinctes ^ on a
—^ étant une fraction proprement ditCy et P,, Pa? • • • 1*„ rcptx'stntant des j
trinômes du second degré. \
On peut observer que l'on a
nx)f{x)-v i>
Wt fiosaiit
P s: ax» -h bx -+- c.
Ou (lispoéo des paramètres a, 4, t-, île façon quo l'ou uit
ax*
-\-bxJrc
ai.'
i. p, Y {'laiit les trois ra<!iues de l'équalioii U=o. Ces racines étant disfine tes, ou a, d'ailleui*s,
. hëcotfiposer, en fractions simples, la fraction rationnelle
Oïl remarque d'abord quV; Ton n
X» -f- 1 =: {x' + 1) [x' -f- xy/^-^ t) (x' — a; y^-f- i),
et l'on pose
Px + y P'a;4-0'
FX4-0"
•^"+' x*-4-j?v/3-Hi j;*— xv'3+i Eii chassant le dénominateur et eu faisant x = i, on trouve d'abord
Ou obtient alors, ajirès simplification, Tidentité
Il serait peu commode de substituer, dons cette identité, à la place dex, It'S racines des équations
X — xyJS-^ 1 —o X* -i-xyJ'S -[ 1 ::=o,
et il parait préférable d'écrire que les coefficieuts des diverses pai$saiice: de X sont nuls. On trouve ainsi .
S. Décomposer, en fractions simples, les fractions suivantes :
JO JC J)
Dans cette dernière fraction, on supposera p et ç, premiers entre eux.
RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ.
L'idée qui nous sert de point de départ, dans la résolution algébrique des équations du troisième degrés est naturelle ; elle peut être appliquée dans plusieurs autres cas. Soit [i) /'{x)zzo, réquation proposée. Supposons qu'elle soit du degré m et qu'on puisse récrire, identiquement, sous la forme
P et Q désignant des fonctions entières de j?, du premier ou du second degré, tout au plus. La résolution algébrique de réquation donnée se trouve ainsi ramenée à celle de réquation binôme >2''* — i — o, en posant ziz -.
Cette idée, en définitive, est celle qui a servi à résoudre les équations du second degré, quand on a utilisé Tidentité,
C^est aussi celle qui préside à la résolution de l'équation du quatrième degré, comme nous le verrons plus loin, en exposant la méthode de Ferrari. Il peut paraître naturel de rappliquer au cas du troisième degré et^ de cette façon, la résolution algébrique des équations, dans le cas où elle est possible (*)^ se trouve découler d'un seul et même principe.
1. La résolution algébrique dce équatious u'est possible que pour les équations dout le degré est iuférieur à 5 ; du moins dans le cas général.
0% QL'AHANTIÈME LEÇON
6)99« lleeherehe de la résolvante (t). Soit
(3) af -{- px -hq zzo
réquation proposée. Nous allons chercher à Tidentifier avec réquatioû
laquelle peul s'écrire
(4) x' (^' — I ) + 3 (^x - a) a?* + 3 (a*Ji — X> + a* - X' - o.
Pour identifier (3) et (4)9 il faut supposer ^ différent de Tunité, et poser
Ces égalités forment un système de trois équations, à trois
inconnues : p et 9 sont les nombres donnés ; x, 0 et X, les inconnues.
De (5), tirons a ; cette valeur substituée dans (6), et dans (7), donne d*abord
puis, en éliminant ^' entre ces deux relations,
(A) 3X> - 9gX —/?*=: 0.
C'est la résolvante ; elle est du second degré. Les équations (6) et (8) donnent, d*autre part,
1. Ce théorème rcmarquublc est du à Guluis (V. Algèbre supérieure tli> M. Serret, t. Il , p. 63;) .
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 3^ ET DU \^ DEfiRÉ 507
On a doncy par combinaison des équations (5) et ( i o)
(B) />g-|-3aXrro; eiy aussi,
Ainsi la résolution de Téquation proposée se trouve réalisée par celles : i^ d'une équation du second degré (A) ; 2*» d'une équation du premier degré (B) ; 3» d'une équation binôme du troisième degré (Q.
En désignant par y Tune des racines cubiques imaginaires de l'unité {$ 44^), les racines x,,a:„ x, sont données par les formules :
a -t-Px, =a;, -hA
a + gx, r:/(a;3+A).
Remplaçons X par 3*a» on trouve, facilement, en tenant compte de Thypothèse/ := i ,
(il) x, =a(?-+-i)
(i3) x,-OLJ{?.j^t).
&30. Difteasisioii. Soit X' Tune des racines de la résolvante (A) ; à celte racine, et d'après la formule (C), correspondent pour a, trois valeurs qu'on peut représenter par «> «/> */• D'ailleurs la relation (B) prouve que si Ton change a, en a;, ou a/, g prend les valeurs correspondantes g;', ou g/. Par suite, les formules (D) ne peuvent donner que trois valeurs pour x. Mais il faut observer que la résolvante admet deux racines X',!" et la discussion qui va suivre a pour but de montrer que la deuxième racine X* donne les mêmes valeurs pour X,
Pour établir ce point, remarquons d'abord que Ton a
D'autre part, à la racine X" correspond un nombre a' déterminé par la relation
On a, d'ailleurs,
et, par suite,
81 XV ou
On trouve donc, successivement,
La formule (11), en tenant compte de la relation (10), donne
Cette expression ne change pas quand on substitue^ à 2. - -^. SiToxi remplace maintenant «, par— ^, on obtient
Y -- PJ iP ^^^
ou
Y — ^ PJ
En remarquant que y — « , cette valeur peut s'écrire Mais on a
.T, - OLJ -f- a3/i OU, d'après (lo),
On voit donc que X,zra7,.0n reconnaît, de même, qu'en
pj *
remplaçant a, par -^ la formule (a) donne la valeur de a:,.
Le même raisonnement, appliqué aux deux autres formules (12) et(i3) du groupe (D), prouve que l'on retrouve toigours les nombres a;,, x„ x, ; il n'y a donc pas, pour l'équation proposée, d'autre solution que ces trois racines.
531. Formale de résolatton. Ces racines sont données par la formule
W-fW(!)V(?)-
dans laquelle on donne successivement à 0 les valeurs 1, y et/.
En effet, la résolvante (A), écrite sous la forme
donne
Nous avons montré, tout à Theure, qu'on pouvait prendre indifféremment, dans cette formule, le signe + ou le sig^ne ~ :
nous ferons choix du signe -h, et nous aurons alors, pour ri
une valeur bien déterminée, savoir celle qui correspond à la formule
La formule (C) donne aussi,
f:=-fW{!y-(f)-.
-='V-fW(!)V(f)"
0 ayant successivement, dans cette expression, les valeurs 1, y,;'. LUnconnue x étant donnée par la relation
on a donc, enfin,
="^-fW(fy+(fy
-UWW^'
&319. Formale de Cardan. La formule de Cardan ne diffère que par la forme de la précédente; on peut, ou la déduire de celle-ci, ou rétablir directement, comme nous allons le montrer.
Soit toujours
x' -hpx -h g — «>, réquation donnée, ut soit posé
ttÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU V ET DU \^ DEGHÊ GOl
On a
ou
y* + ^" + {y-^2){^yz^p) + q = o,
et celle relation esl vérifiée, si les nombres y ei z satisfont aux conditions suivantes :
P yz^~,
La première donne
et Ton peut considérer y' et z* comme étant les deux racines de réquation
On a donc, d*après cela,
et, par suite,
en posant
v=(!)'-tf)"
L'inconnue x est donnée, finalement, par l'égalité
x=y-U^y+\/-l~sy-
b02 QUARANTIÈME LEÇON
C'est la formule de Cardan, formule que Ton peut encore écrire
Ce dernier point résulte soit d'une discussion directe, que Ton peut faire sur cette égalité, soit de la formule (A), précédemment établie et discutée.
&33. Discussion de Téquation générale da tréksiéme degré. Une équation du troisième degré peut avoir, suivant les cas qui se présentent: i® trois racines réelles, distinctes ; 2» trois racines réelles, non distinctes ; 3« deux racines imaginaires. La distinction de ces différents cas constitue la discussion de Téquation, et cette discussion repose sur le signe et la valeur d'une fonction des coeffidenls, fonction que nous avons déjà signalée (g5o2); mais que nous nous proposons de trouver directement.
Soit
réquation proposée. Elle admet, certainement, une racine réelle a, et Ton peut écrire
en posant
^ {x) s: X* -+- (A H- x)x + a« + Aa 4- B.
Pour que f{x) zz o, ait ses trois racines réelles, il est nécessaire et suffisant que l'équation 9{x)zzo ait, elle aussi, ses racines réelles. On doit donc avoir
(A-+-a)' — 4(a'-hAa + B)>o,
ou
Posons
3a' + 2Aa + 4B— A*<o.
(2) 3a'-|-2Aa-f-4B— A* — -s -o.
il résulte de ce que nous venons de dire que la condition nécessaire et suffisante, pour établir la réalité des racines de réquation (t), est 2; < o.
Remarquons, maintenant, que nous avons
et que, des relations CO et (2), nous déduisons, par combinaison,
(4) Aa* + (A* — B-f-3)a + 3C = 0.
Si nous éliminons a entre les égalités (2) et (4), nous obtenons, pour déterminer z^ Téquation
(5) [90- A(ÎB~ A*- 2;)« =: [3 (A* - B + 5) — aAT
[■fiAC — (A' — B + 2)(4B-A*- z)].
Telle est cette équation en z ; elle est du troisième degré, ce point est évident à priori. On doit aussi observer qu'elle ne peut admettre une racine négative, sans avoir, par cela ' même, ses trois racines négatives. En effet si Tune des racines de l'équation (5), est négative, f{x) := o a nécessairement ses trois racines réelles; l'identité /■(a;):=(a? — a)ç(ic), peut alors être réalisée de trois façons différentes ; et, pour chacune de ces formes, le facteur correspondant ? (x) égalé à zéro, doit constituer une équation, ayant ses racines réelles. Les trois valeurs de z qui correspondent à ces différentes formes, et qui sont données par l'équation (5), sont donc négatives.
Si Ton développe cette équation (5), on a
en posant
