A* — 3B)[6AC + (A* — B)(A*-4B)]-[9C + A(V— 4B
Pour que Téqualion proposée ait ses trois racines réelles,
cm QUARANTIÈME LEÇON
il est nécessaire et suffisant que la relation 0 > o, soit vérifiée. En développant les calculs indiqués^ on trouve
(a) 4A'C — A'B'-i8ABC + (4B'-f-a7C')<o.
Le raisonnement qui nous a conduit à ce résultat prouve encore que, si 0 est nul, Téquation proposée a une racine double. Cette condition est, d'ailleurs, nécessaire et suffisante.
&34. Discussion de quelques équations remmqaables. LMnégalité (a) que nous avions déjà établie (§47^ et 5o2), peut être difficilement retenue, et sa démonstration exige un certain effort. 11 est donc utile de signaler quelques exemples, où Ton peut discuter Téqualion du troisième degré, sans avoir recours à cette relation compliquée.
i® U équation est x^-^-px-^q-zio.
Cette forme qui constitue le type normal de l'équation du troisième degré réduite, se discute, comme on Ta vu {% Soa), au moyen de la fonction 0,
qui est celle que Ton retient ordinairement. La discussion de réquation proposée se fait, comme nous l'indiquons ici :
\p* -f- 275^" < 0 j Trois racines t^elles et distinctes.
iDeux racines égales à ^, /a troisième racine égale p'
i/) -h 27c > o j Cne i^arine réelle, les deux autres imaginairejf.
Ces propriétés étant rappelées, nous allons maintenant montrer comment on peut, dans quelques cas, ramener la discussion d'une équation du troisième d^^, à celle qui est résumée dans le tableau précédent .
2" Véqnation est x"" -h pa^ -f- (7 = «. ^
RESOLUTION DES EQUATIONS Dl S^ ET DV 4^ DEGRE GO.i
En prenant réquation aux inverses, Téquation transformée est
On a donc ici,
et la discussion porte sur la fonclion Xp'q 4- 277'. 3» V équation est
Posons u?— a — -; l'équation transformée est
(^-^--) -« + & = "• \ yJ y
La discussion proposée est alors ramenée à celle de l équation
'4" L équation est
aj?'+ (vf — Jij* — o.
Nous poserons ici
d'où
L'équation transformée est alors
5» V équation peut se mettre sous la forme
[xc + 3)' + j; r: o.
On transforme cette équation en posant
le résultat est
6° L'équation peut se mettre sous la forme
Posons
zz y : d ou x zz
L'équation proposée devient alors
ou
&3&. Applications de la fformiilc de Cardan.
Nous nous proposons de montrer, d'abord, quelques exemples dans lesquels la formule de Cardin s'applique avec avantage.
Premier exemple. Résoudre Véquation
On a ici
nÉSOLLTiOX DES ÉQUATIONS DU 3« ET DU 4^ DEGRÉ 607
la fonnule de Cardan donne donc, pour la racine réelle,
ou
La racine cubique de 2, à — près, est égale à 1,26 ; on a donc
xzz — I, 26-1- 2, 26, ou
Cette valeur est approchée à -j^ près, car Ton peut vérifier
que la racine cherchée est comprise entre — 2, 84 et — 2, 85. neaxiéme exemple. Résoudre l'équation
x^ -4- 3a^ -f- 3tg (iâ — a) — 0.
On trouve
par suite,
vC rz va'iii — V^i'jt.
Troisième exemple. Résoudf'e l'équation
x^ — Sx^ùx -h a' -f i^î' — 0.
Dans ce cas on a
(a- + y)'/a-^yy
La racine réelle est donc donnée par la formule
^^Y/i±ii+l:zii4.Y/
60S gUARANTIÈME LEÇON
OU
&8B. laeoiivéïileiits de la fforamle de Csrdaa. On
voit^ par ces exemples, que la formule de Cardan peut, quelquefois, s'employer avantageusement dans le calcul des racines d'une équation du troisième degré : il nous reste à montrer les inconvénients graves que présente l'emploi de cette formule, dans un grand nombre de cas. Considérons Téquaiion
la formule de Cardan donne
V 27 ^ Va;
L'équation proposée a une seule racine réelle â; 1= 3. La formule de Cardan donne ce nombre simple, sous une forme arithmétique, assurément exacte, mais qui est compliquée d'expressions irrationnelles. Nous rencontrons là un premier inconvénient de cette formule; elle en présente un autre, plus grave encore, et que nous allons mettre en évidence, en examinant maintenant le cas qu'on a nommé cas irréductible.
' &39. Cas irrédactible. Lorsque Téquation
a ses trois racines réelles, et distinctes, on sait que l'on a
Dans ce cas la formule de Cardan donne les racines de celte équation par une formule qui est compliquée dVxpressIons imaginaires. Mais ces imaginaires ne sont qu'apparentes, et il est naturel de chercher à dégager la formule de ces symboles, qui déguisent la valeur de Tinconnue.
Pour opérer celle Iransformalion il esl nécessaire d*extraire la racine cubique d'une expression imaginaire. Nous allons montrer, à ce propos, qu'en cherchant à résoudre ce problème, on rencontre une difficulté identique à celle que Ton cherchait à vaincre.
Soil a-4-pt une expression imaginaire; .r + y* sa racine cubique. On a, par définition,
et, par suife,
a — a:' -- '^xy^^
Telles sont les deux équations simultanées qui déterminent X et y. On peut remplacer Tune d'elles par la combinaison suivante :
ou, en posant - := ^, et - := m, par Téqualion
t^—^mt' — 'M + mzzo.
Pour résoudre celle équation, et lui appliquer la formule de Cardan, il est nécessaire de faire disparaître le second terme. Posons, par conséquent,
L'équation qui détermine z est, alors
En posant,
on a
61f) QUARANTIÈME LEÇON
OU
Ainsi réquatiou en ^ a ses trois racines réelles el la formule de Cardan ne peut donner l'inconnue, que sous une forme compliquée d'imaginaires apparentes.
Cette impossibilité de sortir de la difficulté imposée par la formule de Cardan, dans le cas des trois racines réelles, constitue le cas irréductible de la résolution des équations du troisième degré.
&88. Résolation de Téqnatlon du quatrième deipré. U existe de nombreuses méthodes pour ramener la résolution d'une équation du quatrième degré, à celle d^équations d*uii degré moindre. Nous signalerons d*abord celle qui est une application de Tétude que nous avons faite des formes quadratiques.
Soit:
( 1 ) x'* -hpx-' -h qx' 4- rx -f- a* zi o,
réquation proposée. Posons
et considérons (1) et (a), comme des équations simultanées. On peut d'abord remplacer Tune d'elles par la combinaison suivante :
(3) y^ + pxy f- qi/-hrx + sj=. o.
Cette dernière équation peut elle-même être remplacée par celle-ci :
y* +pxy + gy -h rx + 5 -h A {x* — y) zz 0.
En remplaçant x par -, et y par^, on a
(4) 'fJD* + y*+ sz* -^{q — X) yz 4- rxs -i-pxy - o.
Écrivons maintenant que le discriminant de cette forme quadratique est nul, et déterminons X par la relation
prjq-^^) . {q --X)' r* p*s
Celle égalité peut s'écrire
Si ron peut trouver une racine X' de cette résolvante, en remplaçant X parX' dans (4)» celle équation se décompose en un produit de deux facteurs du premier degré, réels ou' imaginaires.
En désignant ces facteurs par U et V, on est ainsi ramené à la résolution des deux systèmes :
( 1=0, j Vire».
En résumé, la résolution de l'équation du quatrième degré se trouve effectuée par celles : i* d'une équation du troisième degré; a"" de deux équations du second degré.
&3II. Méthode de Ferrari. Celte méthode est celle à laquelle nous avons fait allusion, au début de celte leron. Soit :
J5* -+-/>x' 4- qx* + rx 4- A' =z o,
réqualion donnée, et, pour plus de commodité, écrivons-la sous la forme :
( I ) Xx^'\' ipx^ + iqx* + 4ru? + 4« := «.
On peut alors considérer ses deux premiers termes comme provenant du développement de {'ix* + px -h^)\ Celte remarque sert de base à la méthode de Ferrari.
Ecrivons Téquation (i), de la manière suivante :
(2x*+pa?-hX)*— (4X-fy— 4g)j;'+i(ir— pX)x— (X*— 4«) izo.
Si nous disposons du paramètre X, de façon que la relation:
(2) (2r — p\; =. (4a -h-y — 4^) 0" - ^)y soit vérifiée, Téqualion (i) se présente, pour celle valeur par*
612 QUAUANTiËME LEÇON
iiculière de X, sous la forme d'une différence de deux carrés, et sa résolution est ainsi ramenée à celle de deux équations du second degré. Si Ton observe enfin que la résolvante de réquation donnée» réquation (9), est seulement du troisième degré, on voit donc que la méthode de Ferrari, comme celle que nous avons exposée tout à Theure, permet de résoudre réquation du quatrième degré, en considérant : i"* une équa* tion du troisième degré ; a» deux équations du second degré.
i . Rêsoudt'e Viquation du quatrième degré :
.r* -\-px* -I- qx-^rzzo,
çn l'idenlifiani avec réquation suivante :
On Irouvc pour la résolvante :
X* — pX* — 4rX-h 4pt' — (?' — o.
S. Démontrer que Véqualion du sixième degré, débarrassée de son sy:oHtl terme,
of 'hP»^* -h yjf + rj;* -h 5J? -h < = o,
peut être décomposée en deux équations du troisième degré, lorsque /on a :
a p q p 2r s q s ut
