Inscrire dans un cercle un polygone régulier de 3o côtés
Soit AB = J' un des côtés de ce polygone, Tanglo au coiilro A(B= u".
On a donc - = riin (i". En remarquant que 3.6 = 3i), et que:
sin 5a zr ,>sin a — 20 sin *a-h\i\ sin *«,
on a, pour déterminer j, l'équation :
x' — ox* + 5a: — 1 ir o, ou, abstraction faite delà solution x= 1,
ic* -h x* — ix* — 4^ + I zr ».
Li méthode de Ferrari <lonne pour répolvante :
). = — 3 est une racine de celte équation . S. Soiefit .7*1, a*,, j*j, 0*4 les i*achtes de V équation :
/• (a?) zi Ao:* -f- Bx* + Car* -h Da: -h E n o,
démontrer qu'en posant:
00^ "J" Xm ~~~ iCj ^^ it^
/flr tranêfoitnée en y, résolvante de l'éqtialion^ est :
Hy'+Iy* + JyH-K=o;
/'»* coefficients H, I, J, K étant donnés par les formules :
H - 8A*D - iABC -h B' I zz i6A»E -h 2ABD -h B*C ~ 4AG' J =r 8ABE -h B*D — 4 ACD K := B'E - AD*.
6. On considère l'équation du quatrième degré, dél*arrassée de son second termCf
X* f px* -h qx -f r = 0,
trouveriez résolvantes qui correspondent aux formules suivantes:
(B) zzzXt-hx^-- x^ — x^
La première formale correspond à la méthode de Ferrari, elle donne pour résolvante, Téquation
(A') y^ —py* — 47y + ipr — q' = ».
La formule (B) est celle qui correspond à la m»'*thode qu'a iudiquéi' Ujir.mpe : elle donne pour r^'solvante :
(B') 2' 4- 8;?2' -h 1 6 (;/ 4- 4r) z — 64^* = o. Euûn. la formule (C) donne :
(C; ne + 4(4r - />*) <• - 4py/ - ^ = «•
7. Démontrer, par des transformations homographigueSfque les réiolroAtes trouvées dans Vexercice précédent renti^nt les unes dans les autres.
EXEBCICES et 5
On pose d'abord :
et ou vrriae que (C) doviciit (A'). La transformation :
pronve, d'autre part, que{CO n'est autre chose que (B').
8. Rcconnaiire que si a, 6, y désignent les trois racines dp la résolvante (C)» les racines j,, .r,, Js, x; de Véquation :
sont données par les formules:
x^ zz \'bc -f- \fâô — \ffïï)
a:, r y/ôô -h \^ — \^ j?4 - \/ab — v^^ "" V^'^^'
Appliquer celte méthode h i équation :
,T* -f- lax* - 1 6o.r + î î » = «>•
hA DIVISION ALGÉBRIQUE
1. Déftnition des divlstons exaotes* Étani donné vh polynôme entier U, qu'on suppose avoir été obtenu en muUipliant un polynôme connu V par un polynôme inconnu Q, on propose de trouver celui-ci.
L'opération que cette recherche nécessite se nomme la division : U est le dividende ^ V est le diviseur; l'inconnue Q est le quotient.
Théorème. Le problème^ ainsi défini, ne comporte qu'une solution.
Nous admettons que le problème a une solution, et nouft voulons montrer qu'il n'en a qu'une, En effort, soient Q et Q» deux solutions ; les identités
donnent ridenlilo
VQ s VQ' ;
mais alors, les deux membres prenant la même valeur quel que soit Xy il faut aussi que les polynômes Q et Q' soient égaux, quel que soit a; ; on a donc, finalement,
9. Recherche du quotient. ■• Détermination du premier* terme.
LA DIVISION ALGÉBRIQL'E 611
Soit posé
U =: AoX^ + A,a;^* -h . . . 4- A^, V = Boa;*-|-B,a;'''"'-l-... + B^, Q = Coaf-f-C,a?''"' + ... t-C,,.
On a 9 par définition,
iAoX;'* 4- Aja;*^' -h ... -f" A„ s:(Bo2;^-4-B,a:''^* +...-[-B^)(Cor' 4-C,a:'^' +... 4-C,.).
Le calcul effectué dans le second membre donne un terme
BoCo.r^"^'^ qui n*est réductible avec aucun autre terme ; on a donc, d*après la définition même des identités,
Golle-ci entraine les égalités suivantes : et,
Les nombres p^ q^ r étant positifs, ces égalités prouvent :
i" Çwe le degré du dividende est toujours supérieur à celui du diviseur.
20 Que le degré du quotient est égal à l'excès de ces deux nombres.
3* Que le premier coefficient du quotient est égal au quotient du premier coefficient du dividende par le premier coefficient du diviseur.
