II. Détermination du second terme et des termes
successifs.
Les inconnues Co et r étant déterminées, on peut écrire (i) sous la forme :
AoZ^ -h k.af'"^ + . . 4- Ap ^ Qox'' (BoX^ + . • . -h \\) =:(Boa:-f- ... 4- B^)(C,a'"~' H- ... -h C,). Dans le premier membre, les coefficients sont connus:
désignons ce polynôme par R, ; R, est dit le premier reste.
Les termes AoO^, et — BoC«a:'^^, qui sont identiques, disparaissent, et Ton a :
(2) R,=:(BoX^+... + B^)(C,a:""'-4-...4-C,),
R, est un polynôme entier, tout au plus de degré (p — i); il se calcule, comme on le voit, en retranchant, du dividende donné, le produit du diviseur parle premier terme du quotient. Lldentité précédente prouve d'ailleurs que R^ est un polynôme qui a été obtenu en multipliant un polynôme donné V par un polynôme inconnu, qu'il reste à déterminer. Le premier terme de celui-ci s'obtient donc par la règle précédente. Les termes du quotient se déterminent ainsi, successivement ; il y a pourtant, dans ce calcul, un cas singulier que nous devons signaler.
Quand on commence la division de U par V, on suppose, explicitement, que le premier coefficient Âo n'est pas nul. Mais il peut arriver que, dans (2), le premier terme de Rj ne soil pas du degré (/? — 1). Cette exception donne lieu à la simple observation suivante : Puisque, l'égalité (2) est une identité, le terme en a^^ qui n'existe pas à gauche du signe s, ne doit pas non plus figurer dans le second membre ; et cela
exige que Ton ait BoC,ir*"*^*"*=:o, ou BoC, := o. Comme Bo n'est pas nul, on a donc C, = o.
3. Remarque. Lorsqu'on a déterminé un certain nombre de termes du quotient
Cox" -h i\x'"' -f C^x"^' H- . . 4- C^.,
le reste R^^, qui sert à la détermination du terme C^*^*, est
obtenu en multipliant successivement le diviseur V par les termes
KaoX y yJ^X f •*• VJI. tX ,
et en retranchant successivement ces produits du dividende l.
LA DTVISfON AUiÉBRlQUE 6i9
OU
U s: V (Coa;'' -h C.x""' -h ... H- C^^tOf "*"*) -+- R^^-
On peut donc dire, et c'est l'objet de la remarque que nous avions en vue : Si, dans la division, on veut arrêter V opération à un moment quelconque; le dividende est toujours identiquement égal au produit du diviseur par la partie trouvée au quotient, ce produit étant augmenté du reste obtenu à V instant oîi Von interrompt le calcul.
4. Division de deux polynômes entiers qneleonqnes; définition g^énérale de la dlwlslon. Étant donnés deux polynômes quelconques U et V, respectivement de degrés p et q [p étant plus grand que q), diviser U par V, c'est trouver un polynôme Q et un polynôme U d'un degré inféiùeur à q, tel que ton ait
Us:VO + R.
Les polynômes U, V, Q, R se nomment, respectivement, ditndende, diviseur ^ quotient et reste.
Ce problème comporte donc la détermination de deux inconnues, Q et R ; mais il est facile de reconnaître, avant d'aller plus loin, que le problème n'admet qu'une solution, au plus.
Imaginons, en effet, deux solutions : Q et R ; Q' et R'. Nous aurons donc :
et, par suite,
