V:^\Q +R, U = VQ' + R

V(Q- Q'jsR-R'.

Supposons, du moins pour un moment, que Q et Q' ne soient pas identiques ; alors, V(Q — Q') représente une fonction entière, d'un degré au moins égal à celui de V. Cette hypothèse n'est pas admissible, car R et R' étant, l'un et l'autre, des polynômes d'un degré moindre que q, leur différence ne peut pas être un polynôme identiquement égal à celui du prc-

mier membre. Il y a donc contradiction, si Ton ne suppose pas Q s Q' ; mais, alors, on a aussi R s: R'.

La recherche des polynômes Q et R résulte d'ailleurs de la solution donnée plus haut pour trouver Q, quand on suppose R = o.

Imaginons^ en effet, deux polynômes quelconques U et V ; on peut se demander si ces polynômes ne sont pas exactement divisibles Tun par Tautre, et Ton peut toujours leur appliquer la règle établie pour ce cas particulier. Rien n'empêche d'ailleurs, qttels que soient U et V, de poursuivre Topération jusqu'à ce qu'elle conduise soit à un reste nul, soit, ce qui est le cas général, à un reste de degré plus faible que celui de V. Si Ton désigne par Q le quotient et par R le reste, trouvés à cet instant, nous avons remarqué que Ton avait :

i:=:VQ4-R.

Le problème ne comportaut qu'une solution, les polynômes Q et R, ainsi trouvés, constituent cette solution unique.

&. Division des polynômes ordonnés par rappcHt aux puissanet^ croissantes de x. Deux cas sont à distinguer, suivant que la division proposée comporte un reste ; ou n'en comporte pas.

Dans ce dernier cas, le théorème que nous avons exposé pour les divisions, dites divisions exactes, se répète avec des modifications insignifiantes, inutiles à signaler ici. On détermine d'abord le terme constant, puis le terme en x, etc., on trouve ainsi le quotient demandé, ordonné suivant les puissances croissantes de x.

Mais prenons le cas des divisions dites inexactes ; quelques faits nouveaux vont se produire qui méritent d'être signalés.

Nous ferons remarquer d'abord que le problème est indéterminé, et que l'on peut établir d'une infinité de façons Tidentité

U=:VQ + R.

En effet, le premier terme du divi^sour étant une constante.