LA DIVISION ALGEBRIQUE

le premier terme d'un reste quelconque sera toujours divisible, dans le sens algébrique de ce mot, par cette constante ; Topération ne peut donc pas s^arrèter d'elle-même puisque, par hypothèse, on n'arrive jamais à un reste nul.

Une seconde remarque porte swr le degré du reste. Ce polynôme entier R, est de la forme xf^^ R, ; R, étant aussi un polynôme entier.

Cette loi se vérifie pour les premiers restes ; il est alors très

simple de remarquer qu*en l'acceptant pour le reste R„, elle est encore vraie pour le reste suivant, R„^j.

tt. Théorème. Étant donnés deux polynômes U et V, qui ne? sont pas exactement divisibles V un par Vautre, onpevttoujom^s déterminer deux autres polynômes entiers Q et R, tels que ton ait Tidentité

U=:VQ-f-a?"+*R,

H étant un nombre entier, et positifs quelconque; cette déter^ mination n'est possible que d'une seule manière, lorsque Q est de degré égal, ou inférieur ^ à n.

L'identité que nous voulons démontrer est la suivante :

\ + \^iOO + ..,+A^'':=:[B^{-B^^^x+,..-^BoX'')Q-hx'''^%

R et Q étant des polynômes entiers, et ce dernier ayant un degré égal à n. Posons

Q = xo~h «1^: -h ... 4- x^x'" ;

' les inconnues sont ici ao, a,, ... , a„. La première est déterminée par régalité

Les coefficients A et B, étant différents de zéro, celle éga-

lité donne pour Oo une valeur unique, qui n'est ni nulle, ni infinie. Égalons maintenant les coefficients de a;, dans les deux membres ; nous obtenons une relation du premier degré entre ooet a, ; le coefficient de at étant B^, nombre différent de zéro,

et 2o étant connu, on obtient donc pour a, une valeur qui est bien déterminée. Continuant ainsi à égaler, deux à deux, et successivement, les coefficients de af, dex*, ... on voit que chacune des inconnues «o^ a^, ... a„, a une valeur bien déterminée. On remarquera que les coefficients de R n'entrent pas dans les équations qui déterminent les coefficients a, puisque, pour cette détermination, on égale seulement les coefficients des puissances de x, d'un degré inférieur à ri +- 1 . Ainsi Q est déterminé, et a une valeur unique ; il en résulte

que le polynôme a;'*t*R, a, lui aussi, une valeur unique : savoir celle de U - VQ.

K. Théorème. Lorsqu'une foi^ie entière, homogène, du degré m, en X et y y à coefficients entiers^ est exactetneni divisible

par la forme linéaire oLx + ^Py aet 3 désignant des nombres entiers premiers entre eux, le quotient a des coefficients qui sont, eux aussi, des nombres entiers.

Soit U, la forme homogène proposée .

i; =: Aox'" +- A, j:;"-^ + K.x'^-y* + . . . + A^"*.

Si Ton effectue la division de ce polynôme ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, la règle ordinaire, sur la division de deux polynômes entiers, prouve que les coefficients du quotient sont :

Ao A, iiAo

et si ces nombres ne sont pas entiers, ils représentent des fractions dont les dénominateurs sont a, a', etc..

Supposons maintenant que Ton fasse la division du polynôme U, ordonné par rapport aux puissances décroissantes de y par 3y+2a;.Les coefficients du quotient sont alors

r. y ". r.i 9 6lC...

On peut encore remarquer que, si ces coefficients ne sont pas entiers, ils représentent des fractions dont les dénominateurs sont 0, ^*, etc.

Les deux divisions que nous venons d'imaginer doivent, Tune et l'autre, conduire au polynôme Q, quotient exact de U par ax-h Py. Les deux quotients, Q' et Q" obtenus ainsi, par ces deux opérations successives, étant identiques à Q, il

est impossible, a et 3 étant deux nombres entiers premiers entre eux, que les coefficients de Q' soient des fractions de la