DIVISIBILITÉ ALGÉBRIQUE
1. Eq algèbre, le problème de la divisibilité peut être posé dans les tei*mes suivants: étant donnés deux polynômes V et V, trouver les conditions que doivent vérifier leurs coefficients pour que Vun de ces polynômes soit exactement divisible par Vautre,
Nous indiquerons d^abord la méthode la plus générale que l'on puisse suivre pour rechercher ces conditions.
Ayant ordonné, par rapport à une même lettre, les deux expressions proposées U et V, on poursuivra aussi loin que possible, c'est-à-dire jusqu'au point où la règle est en défaut, et ne permet plus la continuation du calcul, la dii^ision de ces polynômes. Si Topération donne un reste nul, il est, par c«la même, démontré que U est divisible par V.
Soit proposé, par exemple, de vérifier la divisibilité de L —a* -h ô* + ^*' — '^dbc^ par V r: a -|- ô -h c ; on fera la division suivante:
(r — Wabv -I- ^' -h c'
K, = — a' (6 -h c) — Mibc + 6» 4- &
II, n a [b^- -f- e — bc) + ^^' H- e
a^—a{b'hc)-\'b'''\'C' — bc
On conclut de ce calcul, que U est exactement divisible par V.
De même, les deux expressions U — a;'" — a"* et V ir x — «, soumises au calcul delà division, donnent Tidentité
wi— I I .. w— i , ^« m— ;t , ,„*«"'
kA) X — a ^ (X — ai\x -^ax ~hax -t-...-hrt i
DIVISIBILITE ALGEBRIQUE 627
A la méthode générale précédente nous ajouterons quelques caractères, ou règles de divisibilité, qui permettent de reconnaître, sans qu'il soit nécessaire de feire certains calculs, quelquefois pénibles, que deux polynômes sont, ou ne sont pas, divisibles Tun par Tautre.
Nous désignons, dans ce qui va suivre, par U^ un polynôme
entier en ic ; U^ repntaente alors la valeur arithmétique prise
par cette expression algébrique, quand on remplace la lettre Xy par un nombre donné a.
9. Théorème. Étant donné un polynôme entier IJ^; i** si Von rt U^ z= o, U^ est exactement divisible par [x — a) ; 2® si Von a U„;2f o, le reste de la division de V^,par (x* — a), est égal à ce nombre IJ^.
Soit :
r^ rz A^' -4- A, x''"^ + . . . -I- A^jX 4- A^ ; on a alors,
{:^^Aoa^^Ay' + .. 4-A^,ja + A^, et, par suite, V,-V^^Ao{o^'-a^) + A,{x^'--a^') + .„+A^,{x-^a).
Les facteurs de Aq, A,,.. Ap j sont tous divisibles par x-^-a^ d'après ridentité (A); par conséquent si Ton a U„ r: o, U^ est divisible para; *- a; dans tous les cas on a :
Q étant une fonction entière de x; V^ est donc le reste de la division de U^ par (x — a), 11 résulte de cette remarque que si U„ = o, on peut toujours
poser U^ — (a: — a/v^, /* étant un nombre enlier positif, au
moins égal à i, et V^un polynôme entier.
3« Eiol des coefficients du quotient. L'identité précédente peut s'écrire
A. (xP-' + axP-*+ a'jT' + ... + oT')
A, {xr"--\-aar^ + -H a^")
U^-U.s(x-a) ( H- A, {jT-' + ojT* + +«»-']
ou
Ao^X/
Aoû
