A-AB

Mais, d'après la formule (3), on a, pour p =: n,

ArzP.

Ainsi P est égal au produit des déterminants A et B.

8** Soit enfin p>n. Décomposons le déterminant A, en une somme de produits de déterminants d'ordre p et n, les déterminants d'ordre n étant formés d'éléments pris dans les n premières colonnes. Parmi ces déterminants, les seuls qui ne soient pas nuls sont composés d'éléments pris dans les p premières lignes. Soient an (Xsvai,?^ nombres distincts rangés par ordre croissant, et pris dans la suite i, 2, 3, ...p. Désignons les

THÉORÈME DE filNET ET DE GAUCHY 6i7

(p ^ n) nombres qui restent, nombres rangés en ordre croissant, par Y„ Yt ••• Yp.n- Nous avons alors

D*ailleurs le déterminant d'ordre/?, A(a4a,V..a,j est égal à un

déterminant d'ordre n. En effet, dans chacune des (p — n) premières lignes tous les éléments sont nuls, un seul excepté^ celui qui est égal à (-> i). Développons ces déterminants par rapport à la première ligne et remarquons que l'élément (— i) est situé dans la colonne de rang Yi • Soit o« le déterminant obtenu en supprimant : !• la première ligne, ^^ la colonne de rang Yi ; nous pouvons écrire

Développons maintenant S^, par rapport aux éléments de la première ligne, et observons que tous les éléments de cette ligne sont nuls, excepté celui qui est situé dans la colonne de rang (y, — 0, élément qui est égal à (— i). Soit 8„ le déterminant déduit de 3,, en supprimant la première ligne et la colonne de rang (y, — i); on a,

et ainsi de suite :

iFoù

NOTEC

et, par suite,

A , v*+2+-+*«2f— i)"*"^"2 + - + «n + Yl + -+Yp-n ^

jn(1.2... n} î

Observons que cette quantité étant indépendante de an «i? *•• a , on a :

«(«+0 . pCp+o

OU, en réduisant Texposant,

D'ailleurs D|a^^'j;"^ est le déterminant formé, en prenant

dans le système (i) les éléments situés dans les colonnes d'indices a„ a, ... a , c'est-à-dire le déterminant déduit du sysième

( i ) en supprimant les colonnes d'indices y, , y,, y ^ ; 3 résulte

aussi du système (2), en supprimant les colonnes dMndices Yi' ïi' Y ^ ^^^ deux déterminants étant désignés par A et B, pour abréger récriture, on a donc :