A =(-!/'+« S(AB

En comparant ce résultat à la formule (3), on a» finalement,

dz P = 2 (AB).

1 9. Examen du eaks oikp:=:n. Posons

tti a^ ... ai

a» (Zj ... 04

0„ 0„ ... fl„

,Bzz

THÉORÈME DE BINET ET DE CAUCHY 649

et,

iious avons montré que Ton avait

P = AB; en posant

On dit alors que P est le produit des deux déterminants A et B, effectué, lignes par lignes. Or on peut changer les lignes en colonnes, et vice versa, soit dans Tun des déterminants A et fi, soit dans les deux à la fois. Il y a donc, pour le produit de deux déterminants, quatre formes, en général différentes ; ces formes correspondent aux quatre valeurs suivantes de rélément du déterminant P :

i) Cflj^p = aJi^p -f. a;ô^ -+-...+ <*« | produit par ligne».

2) CP = ajjôf H- albf -h . . . -+- a^b^ ) produit par lignes

" 1 2 ni *^^

3) Cî = a"6p4-«?6p-|- ... +• «"ôp J colonnes.

4) C"'P = afbf -+- a^b^ -f- . . . 4- a^bf^ } produit par colonnes.

On peut donc énoncer la propriété suivante.

Théorème. Le produit de deux déterminants d'ordre w, est égal à un déterminant d'ordre n, dont les éléments sont les sommes des produits des éléments des lignes ou des colonnes de Vuny par les éléments homologues des lignes ou des colonnes de Vautre,

US. Remarque. Pour cfTecluer lo produit de deux déterminants d'ordre n et p, (p<n), on transforme le déterminant d*ordre p^ en un déterminant égal, d'ordre n.

1^ Théorème. Le can*é d'un déterminant est un déler-

Gr;o

minani symétrique, lorsque les déterminants égaux sont multipliés lignes par lignes ; ou colonnes par colonnes. On a, en effet :

Cp,« —

Ca.B — «ot^S -'- ^a^â + •• + «a«Q-

'a,p -^ '*ot"p

d'où Ton conclut

Gp,a — ^«,p-

!&• Exemples. Voici maintenant quelques applications des principes précédents.

ab\ cd\

pq rs

ap-hbq ^cp-^-dq ar+bs^cr-^-ds ap-hcrfbp+dr aq-hcSjbq-i-ds

ap-^bryCp-\-cr aq'\-bs^cq-\-ds

ap-hcq,bp-hàq

abc def ghk

aa'-hbb'-hcc'.da'-hcb'+fc', ga' + hb' ad'+be'-hcf, rfd'4-ee' +fr, gd'+he' ag'-hbh'-hcV, dg''hch'-hflc\ gg'+hh'

kc'\

^ ( kk'l

aa-hbd'-hcg^da^-hed'-hfg', ga'-hhd'-h-kg' aV-hbc'-j-ch', db'+ee'+fh', gb'-hhe'-hhk' a& -i-br + chf, dc'-i-er -h fr,9c'-hhr -i-kk^

aa'-+-db'-hge',ba''heb''\'hc',ca'+fb'-hkc' ad'-^de'-^grybd'+ee'-hhryCd'-hfe'-hkr ag'-hdh' + gk\ bg'+ eh' -hhk\cg' +rh' + kk'

aa'-hdd'-hgg', ba'-hed'-hhg', ca'+fd'+ kg' ab'-hde' +gh\ bb'+ee' 4-M', cV + /e'+ W ac'-f. df + gk\ bc' + «r + A*', ce' + /T-H A*'

50 Ait

THÉORÈME DE BLNET ET DE CAUCHY

aa'

■Jfbb'

cd,

cm'

'-\-bb'

+ cc!' 1

aa' ■+■ bb' + ce',

m'+bb' -^-cc',

(Produit

par colonnea.)

a* + 6a' 4- ca\ ab + 66' 4- cb" y ac -h 6'c 4- cc'^ aa' + b'a'-^c'a", a'b-hb'* +c'b% a'c-^b'c'+c'c" aa^+b^a'-^cW, a'b-hb'b'+c'b^ (fc-^b^c'-^c"*

(Produit

par Ijgnes

et coloDues.)

a" H- a'* 4- a"*, ab-^-a'b'-^a^b' .ac-k-a'c'-^a'c" ab-^a^V-i-a'^Vy 6* 4- 6'* 4- ft'"», 6c4-6'c'4-6*c' ac4-a'c' + aV, 6C+6V4-6V, c* 4- r'* + c**

(Produit par colonnes.)

abc de f

abc de f gh k

Pzz

aa'-hbb'f da' ad' + b€\ dd'

éb\ ga'-hhb' ee\ gd' 4- Ae' k

ILB. ApplicMition do théorème de Binet et Cauehy.

Considérons deux systèmes composés d'éléments égaux :

On a:

aj&i 4-a,6,4- ... ajbn^ b^ -\-b^ -h .. ou, en développant : j

isS

(a? + a|4- ... 4-a'„) (6Î-h 6| + ... f 6^) - (a,6, 4-aA4-...+«»6n)* s: S (a«6|î — h^a^"- (A)

Le signe S désignant la somme de toutes les expressions de la forme (a^6g — bjiy, qu'on obtient en prenant pour a

NOTEC

et g les ' combinaisons des nombres i, 2, 3 ...n. La

formule (A) n*est autre chose que Tidentité de Lagrange^ dans le cas le plus général.

1 9. Remarqoe. Si les deux systèmes de np éléments, considérés dans le paragraphe ii, sont identiques^ le déterminant P est égal à une somme de carrés.

Car Â étant égal à B, on a :