P = SA
Le nombre des carrés compris sous le signe S est égal au nombre des combinaisons dep objets, pris w à w, c'est-à-dire égal à :
Il en résulte que les déterminants mineurs principaux de tous Ifis ordres du déterminant symétrique P, qui est le carré
du déterminant A, sont des sommes de carrés. Par déterminants mineurs principaux^ nous entendons désigner ici ceux que Ton obtient en supprimant dans le déterminant proposé un même nombre de lignes et de colonnes affectées des mêmes indices.
Supprimons dans P les lignes et les colonnes d'indires a„ a„ ... aj^; on forme un déterminant mineur d'ordre (n — k]
qui est composé^ diaprés la règle de Binet et de Cauchy, avec les éléments de deux systèmes identiques, déduits du système des éléments de A» parla suppression des lignes a,, a, ... 2^.
18. Déterminants de syst^émes a^ointe. Soit le dé« terminant :
An
^1 ai ... ai
ci'i a^ . . . a*t
résignons, suivant une notation adoptée, par aJ le coeffi-
THÉORÈME DE BIiNEr ET DE CAUCUY
clent de rélément a^; on donxiQle nom de déterminant adjoint au déterminant D :
Aj Aj ••• A.I A^ A-^ ••• A 2
19. Théorème. 7/6 déterminant adjoint d'un déterminant (Tordre n est égal à la puissance (w — i)""® de ce déterminant.
En effet, multiplions A par D, et soit C^j ^ un élément quelconque du produit; cet élément a pour valeur:
Si Ton imagine que Ton développe A un mineurs^ par rapport aux éléments de la ligne p, on voit, i» que C^^ o est nul quand
on a %^^\ a<»que Ggj p — A, quand on suppose a — p. Par
suite, le produit considéré a tous ses éléments nuls, excepté ceux de la diagonale principale, lesquels ont pour valeur commune A. Ainsi le produit DA est égal à A'*; on a donc
DizA"-'.
itO. Théorème. Soit d, un détei^minant mineur d'ordre p dudéterminant adjoint D. Avec les éléments homologues du système A onpetU former un déterminant de même ordre ayant pour coefficient G; ces quantités d, A et G, vérifient l'égalité
rfzrA'^-^C.
Considérons le déterminant :
dzz
OÙ Ton suppose a, < a, < - .. < «p, et 3, < ?, < . .. < 0p.
On peut écrire le déterminant d sous la forme d*un déterminant d*ordre n,
dzz
... aI"
Af^+i ...
aL'^* -
Af'
Af"
Dans les p premières lignes figurent les éléments de D qui sont situés dans les lignes a,, a,, ... a^. On doit aussi re* marquer que dans les (n —p) dernières, les éléments situés sur la diagonale principale sont égaux à Tunilé, et que tous les autres éléments sont nuls.
On a d'ailleurs :
al' /^ ... a^P a^P+» ... /« /' /* ... a^P a^P+' ... a^'
Ph
THÉORÈME DE BINET ET DE CAUGUY
DOO
Faisons maintenant le produit de d par A% nous obtenons le résultat suivant :
a"* , a\" , «•" ,... rt
a^^\ /p+l ^f»f^+l ... ^Pp+l ... «Pp+1
Ce déterminant se réduit {% 5) au produit :
rfXA' = A''
^Pp+i /p+i^ ^Pp+i ... ^Pp+i
^Pp+2 ^Pp+2 ^Pp+i
Remplaçons A' par sa valeur (3) il vient :
car, (g 8), la quantité
est le coefficient de
Pi Ji
... fl^P
lit. Exemples, i* Le déterminant mineur déduit de D, en supprimant la ligne a et la colonne 3» est égal à :
On », en effet,
