Hésoudre les équations
(IX -hby+ cz -\-iU=:X
— bx-hay-hdz — clzz Y
— ex — dt/ -^ az -h bt zz Z
— dx + cy — 6-5 -H ai — T .
Calculer le déterminant des inconnues, et Cexpression U ;
{Ed, Lucas.) Soit A, le détermiuaut des iacouuueé. Ou a,
A s: (a* + 6* -h e*-+- dj.
Cepoiut s'établit facileiueiit eu formaut A*. Ou trouve aloi':»,
aX — 6Y-CZ — rfï
6X-+-aY-~dZ+cT ^ cX -h dV + aZ — 6T e/X — cY-f-ôZH-aï
et, par suite:
(x'-Hy*-h2'-^0(û^*-+-ô*-Hf*-hd*) = X* + \"-HZ'-+.r. C'est lideutité d'Euler.
6. Résoudre, par rapport aux lettres x; y, z,i,p, q, r, s, les équations:
ax-hby -\' cz -{- dt -{- ep -h fq -{- yr -h as zr X
— bx-h ay -{-dz^ et + fp — eq — hr -^ gszz Y
— ca; — 6?y -)- az-hàt-h gp + hq — er — fs -ziZ
— (te-}-cy — bz -h al -h fi]} — gq +fr — es zz T
— ex^ fy — gz — A< 4- op -f ^^ + cr -h c^ r; P
— fx + ey -^hz-hgt — bp-haq — dr -h es zzQ
— gx -{- hy -^ ez — ft — cp -hdq-h ur — bs -^.M
— hx — gy-^fz-het^-dp-^cq-hbr-hctszz S
Calculer le déterminant des inconnueSf et T expression U:
U :s:x' -^y* -h z' -h t' -hp* -i- q* + r-hs\
{Ed, Lucas,) Eu élevant au carré le détermiuaut A, ou trouve
y -(or ^b' -^-r -hfP + e' -h r {-y'-hh')'
ou:
Le^ valeurs des lucounues soat doauéos par les Tomiulcs
^I . a? = aX — i^Y — cZ — (f r — eP — /Q - <7R — /iS
V . y = ÔX 4- aY -h dZ + cï H- fP-^eQ-h hl\ 4- f/S v . j - cX +dY + aZ — i^T — ^P - AQ + eR + /S vÂ.i z=c/X — cY-4-6Z + «T — AP + ^rQ- /-R-f eS Vl./;:=:eX-|-/'Y-f^Z-HAT-4-f/P — ÔQ — cR— «rr Vl . (7 -/"X- eY -h/iZ — (/T -h ^P -f-aQ -f rfR - cT \  . r n r/X — hY — cZ -h H' + cP - rfQ -+- aR ~h bS VÂ.A- -/iX-^^Y — /y — eT + c/P-+-cQ — WH-aS.
Le théorème de M. SylvesCer peut s'énoncer ainsi. Si nnc forme quadratique U, a été décomposée, de deux manières différentes, en carrés de fonctions linéaires indépendantesy il y ût, daiis Vune et Vautre de ces décompositions, le même nombre de carrés affectés du signe -\-, et le même nombre de cai^és précédés du signe — ,
Nous distinguerons, dans la démonslralion qui va suivre; deux cas; suivant que le discriminant de la forme est différent de zéro, ou égal à zéro.
Premier Cas. Le discriminant n^est pas nul. La forme U est alors décomposable en n carrés indépendants si, comme nous le supposons, le nombre des variables est égal à n (^348).
Supposons que, par deux méthodes différentes, on ail trouvé successivement :
(0 u=:PÎ4-...+P;~0î...-Qg,
Nous allons montrer que a et 6 sont, respectivement, égaux à a' et à 6'.
Nous savons déjà que Ton a :
a + 6rzw, et x'-|-6' = ;î.
tffô NOTE D
Si Ton suppose x < a', on a, nécessairemeni, 6'< 6. Puisque
a4-6=: w, on a donc:
Celle remarque élnnt faîle, considérons les équations :
Le nombre des variables est supérieur à celui des équations, puisque a -i- 6' est inférieur à n ; elles admettent donc une infinité de solutions, différentes de zéro. Soit x\^ ••• ^'„; Tune de ces solutions. Les identités (i) et(îi) donnent:
Pr+..-^P; — Oî... -QisRîH-... ^R;/-Sî...-S|r.
Dans cette identité, remplaçons ir,,...a?^; respectivement par j'î,...,ri il vient:
11 résulte de là, en particulier, que Qj, ... Q^^ sont des quantités nulles. Mais alors les équalions
P, = 0, ...P^ = o; Q, no, ...Qgzzo;
admettent une solution différente de zéto. Ces n formes P,, ... P^; Q,, ... Q^, ne sont donc pas indépendantes, conclusion
qui est contraire à Thypothèseque nous avons faite.
On ne peut donc pas supposer a < a' ; ou pour le même motif, a' < a ; on a donc a =: a' ; et par suite, 6 — 6'.
SeeondVwkm, Le discfnminant est nul. Les notations précédentes étant conservées, on a encore, pour des raisons connues (§352). 3t-f3=:a'-f-P'. Nous poserons a-i-gzza'-f-P'r: 3; on supposant, maintenant, z<Zn.
P. z=:n\Xt +---+alr^f
THEOREME DE M. SYLVESTER
et considérons le tableau rectangulaire
^* ,.* ^1 «i ... a s ... flf
'ïi . . a. ... ff„
Dans ce tableau^ un déterminant d'ordre z est certainement différent de zéro, autrement les fonctions P et Q seraient dépendantes, linéairement. Posons donc :
at ... 0'
. :A?:fo)
et considérons les fonctions :
Je dis que ces fonctions sont indépendantes. Supposons, en effet, que Ton puisse trouver des coefficients a, tels que Ton ait,
En égalant à zéro les coefficients des variables 0:^ , .. .r.; on a, d'abord,
X,rti-h. . -f-X-aj' — o,
\a~ -+-,.. -\- X-at n o.
Le déterminant A de ces équations est différent de zéro ;
6GV NOTE n
elles ne sont donc vérifiées que pour des valeurs des coefii-. dents X, qui sont toutes nulles. Mais alors Tidentité (2) exige que Ton ait aussi :
Ainsi les fonctions (1) sont indépendantes. Ceci posé, considérons la forme quadratique :
V e^^t la somme de n carrés indépendants :
Si Ton supposait a ;zf x\ en remplaçant dans (3) successivement U, au moyen des formules (1) et (2), on aurait, pour Y, deux décompositions renfermant des nombres différents de carrés affectés du signe +. Nous avons établi, dans la première partie de cette démonstration, que cette hypothèse n'était pas admissible.
