Bortramï. A ff/èhre élémentaire, i>.\T

66tî NOTE E

fi priori^ puisque en posant x* zz z, l'identité

est vérifiée pour toutes les valeurs positives ou négatives de :;.

Examinons maintenant, de plus près, ropération que nous avons faite: nous avons remplacé af par — i et il n'y avait, à cela, nul empêchement, puisque Hdentité considérée par nous, ne présentait que des puissances paires de x. Ainsi on peut dire que cette identité est vérifiée non seulement pour des valeurs positives ou négatives de Xy mais encore pour des valeurs négatives de x*.

La généralisation des identités, conduit ainsi à envisager ces valeurs négatives de x*, qui ne correspondent pas à une valeur arithmétique de x. Pour les distinguer de celles-d, nous leur donnerons le nom d'expressions imaginaires, et nous désignerons en particulier, par iy celle de ces expressions dont le carré est égal à — i.

Considérons maintenant une identité renfermant, dans ses deux membres, des puissances impaires de x. On peut par un groupement convenable, éciûre cette identité sous la forme :

r, {x) -h xr, ^^) s: <?, (.r) H- xo, {x) en supposant :

les fonctions /i, /*, ; ©,, 9, ne renfermant que des puissances paires de x. En remplaçant x* par — 1 ; /*,, /i, ?„ 0, prennent des valeurs arithmétiques, bien déterminées, égales deux à deux, et le premier membre devenant égal à A -f- BXy le second membre prend la valeur identique A + Bx.

Ainsi les identités subsistent, même pour ces valeurs singulières de X que nous avons nommées imaginaires, et quand, dans ridentité de deux fonctions entières, on remplace a: par ile premier membre prend la forme A-f-B»; le second membre la forme A' H-B'i, les égalités A = A' B zr B' étant vérifiées.

î?l'R LES IMA(i[NAIRES 667

9. Égalité des Imai^iiaires. Deux expressions imaginaires a-hbiy c-+-dt\ sont égales, par déflnilion, lorsque Ton a a r: />, r — cf; ainsi, de Tégalité,

(i) rt + ft? izr-i-rfî , on déduit

Si Ton compare les épralilés (i) et (2) on voit que la définition précédente revient à celle-ci : dans le calcul des imaginaires^ la lettre i est considérée comme représentant une quantité variable, dont le carré est égal à — 1.

Nous ferons ici celte convention dont Tutililé nous parait plus fecile à vérifier par la suite, qu'à motivera) priori,

3. Opérations alg^ébriques. i^ Addition et soustraction. Le calcul algébrique de l'addition effectuée sur les expressions imaginaires a-hhi, a* -\-hH, ... donne, en traitant i comme une variable,

(ahbi)-h{a'-hbi) + ... -:V^ -hr/' -f- ...) -h{b -hb' + .,.)i.

Cette identité constitue l'addition des imaginaires et si Ton représente le résultat par x + y^, on a :

Pour les mêmes raisons, la soustraction des imaginaires a + biy a' -h b' i, est définie par l'identité :

a-hbi- [n' + b'ï)^ a — r/' -h [b — V) i.

2® Multiplication. Considérons les deux expressions imaginaires a + biy c-hdi; traitons i comme une variable, nous avons :

(a 4- ^0 (c + di) =: ne -f- bdi* -f- i ^bc -\- ad).

Faisons maintenant /' z= — 1 et nous obtenons, pour le produit {a -h bi) (c H- di), le résultat suivant ;

ac — bd -}- i {bc -h ad).

f.r»8 NOTE E

Remarque I. On peu f intervertir tordre des facteurs Unaginaires.

Prenons deux facteurs imaginaires a -f- '>', e -^di : nous voulons établir Tidentîté

(rt -f. hi) [c H- di) == (c + di) [a -h />*:)• D'après ce que nous venons de voir nous avons

( 0 (if -{• hi) (c -f- di) — rrc — hd + / yhe 4- ^/^/).

Prenons maintenant le produit {r + di) (« -[-/>/); en lui appliquant la même règle nous trouvons

(2) {c + di) {a + bi) zn {ac - hd) H- i (bc -+- ffd).

En comparant (1) et (u), nous voyons que les deux seconds membres sont identiques ; il en est donc de même des premiers membres.

Remarque VÊ- On peut multiplier par une même exp}*ession imaginaire les deux membres d'une égalité.

Si Ton a,

(1) a-hbiiin'^bU, je dis qu'on a, pareillement,

En effet, le premier membre est égal, d'après ce quo nous venons de voir, à :

ax-b^-\- i [bx 4- ^3), (A) le second est égal à

Mais régalité (1) donne a ~ a', et 6 — //; les résuUats(A)et (B) sont donc identiques.

3° Division. Nous définirons la division de la manière suivante : Diviser a + bi par c -f- di, c'est trouver une expression imaginaire o^-hyi, xety étant réels, tels que Pou ait.

a + bi zzic-i- di) (x-hyi).

s LU LES IMAGINAIRES 669

Celle égaillé peut s'écrire, d*abord,

a -hbi :iz ex —dy-h i [dx -h cy) ;

on a donc:

ex — t/y — a, dx + cy — b.

Ces équations donnent les valeurs des inconnues Xy y ;

__ ac -hbd __bc — ad

(l -h bî

Si nous convenons d'indiquer par -, le quotient cher-

c -hdi

elle, nous aurons donc, finalement,