APPLICATIONS DU BINOME

la formule (A), conduit assez naturellement, si Ton veut généraliser cette formule, à calculer les qnantités S,, S)^. . . , et par suite à chercher la somme des puissances k des termes d'une progression arithmétique.

Désignons par «t, wj, . . . Wn+i, les (n -+- 1) premiers termes d'une progression arithmétique de raison r de telle sorte que :

Un = Un-{ -h r

Wa = W. 4- **•

La formule du binôme de Newton permet de former le tableau suivant:

Ajoutons ces égalités et convenons de poser :

on obtiendra :

{B)(tt,+i)w-i-(w,)*+*+A,r2i+A,r*S*+..+A.r<r„+..+nrH-i.

59. En appliquant cette formule il faut bien observer i^' qiie le nombre total des termes du second membre est {k + a); ao que Ai désigne le nombre de combinaisons de {k+ i) objets

groupés ï pari ; en d'autres termes A,- -=. CJLj.4. Si l'on veut avoir S;, on doit faire

V, zr 1, rzzi, «,7+t = ^ + i et A — 2.

En remarquant que A, zr Aa := 3, on a

(n-hi)'- i4-3.^i~f-3S*-|-«.

En remplaçant Si par ^^ — - on trouve

4 n(n4-i)(gn+ i)

formule déjà établie.

L On trouve de même