RACINE CARREE

Pour quMn produit soit identiquement nul, il est nécessaire et suffisant que Tun des facteurs soit identiquement nul. On a donc

R = R' on

Il est d'ailleurs évident, à priori, que si R est une solution, (— R) est aussi une solution ; On peut donc dire: i** qu'il n'y a, au problème proposé, que deux solutions^ auplus;2^ques'il en existe une il y en a une autre, identique à la première, quand on change les signes des termes de celle-ci,

61 SkiliiUon du problème. Recherche du premier terme de la racine. Soit

P =: \oX^ 4- AiX'"^' -+- . . . Am

le polynôme proposé, et

R zz BoXP 4- BjicP-"* -h . . . -4- Bp

la racine cherchée.

Les inconnues du problème sont p, 60, 61. . . Bp. On a, pour les déterminer, Tidentilé

(A) A,^ + A^x^i -h . . . -h An, =: [B^ -h B.irP-' 4- . . . -h Bp)*

Le second membre peut être considéré comme un produit de deux facteurs égaux. Le terme bIx'^ est le seul de son espèce ; c'est le terme de degré le plus élevé. On a donc

A^:^ bIx^p.

Par conséquent m zz 2p, et Ao ir bJ.

Cette dernière égalité exige que Ton ait Ao > 0. Nous supposons cette condition remplie; s'il en était autrement le problème serait impossible et le polynôme P n'aurait pas été obtenu, comme le veut Thypothèse que nous avons faite. On voit aussi que m est nécessairement un nombre pair. Nous arrivons donc à celte conclusion : l^ que le degré de la racine est

oO CINQUIÈME LUÇUN

hmoUié de celui du polynôme donné, lequel est nécessaire' ment du degré pair; a» que le premier coefficient de la racine, celui du term^e du degré le plus élevé, est égal en valeur absolue à la racine carrée du premier coefficient du polynôme donné, coefficient qui est d'ailleurs nécessairement positif.

Recherche du scf^md €Soeffiolent« Les inconnues p et Bo étant déterminées, on peut écrire Tidenlité (A) sous la forme

-h (BjOU»-» -h . . . Bp)\

On remarque que les termes AoX**^,hl^^P disparaissent ; et, en posant

R4 =: A,a?»«-i -^ A,a;'"---h . . . -h Am,

il vient

R, s: nB^xP (B,a^-' -h . . . -j- Bp) -h (B,^/»-' -4-. . . -f- Bp)*.

Dans le second membre il y a un terme qui ne se réduit avec aucun autre, c*est le terme :

aBoB,a;*P-S ou 2Bfi^o^-K On a donc

(1) A.^iBoB. Si Ton suppose A. :=i 0, on a donc B. = > : si Ton a' Ai ;zi o, on tire de Tégalité (1) B^ = -t^ ; mais dans Tun, comme dans

Tautre cas, on peut dirQ que le second terme de la racine s'obtient en divisant le terme du degré (m — i) du premier reste par le double du premier coefficient de la racine.

Recherche du troisième csoefficient et des tsoefllcients saccesslfs. L'identité (A) peut maintenant s*écrire, Bo et B| étant connus, sous la forme

P -^ {B^VP -h BtXP-^y s: 2(BoZ;P -h B.xP-») (B, c -^ -f. . . , -f-Bp)* -+- (B»rr« -4- . ,.•4-Bp)^

RAaNE CARREE H

Posons

on a

R, s: a (B,^ -h B^x^) (B^xr-^ . . . -^ Bp) 4- (B,a?P-^-+- . . .-f-Bp)^

Il y a dans le seiX)nd membre un terme qui n^est réductible avec aucun autre , c'est le terme aBoBja?*i»^, ou aBoB^a:^-*. Identifions-le avec le terme en a?»-* dans R , : on voit alors que B9 s'obtient en divisant le coefficient du terme de degré (m —a) de R,, par le double du premier coefficient de la racine.

Cette règle se généralise facilement. On prouve ainsi que n Von cofisidère le reste R*

(B) Rt =: P — {BoXP + B^XF-^ -h . . . + B^ja;P-*+' f

le terme BkXP-^ de la racine s'obtient en divisant le tenne du degré (m — k) de Bk, par aBo.

Wjoi de saecession des restes. Les restes succe^fsifs R^, Ra, ... Rfc, dont il est question dans la théorie précédente, peuvent se calculer par la formule (B) ; mais il est plus simple de les déduire les uns des autres, par une sorte de calcul récurrent qui permet de déduire Bk de R*^i. On se fonde sur la remarque suivante. On a

R*-i ir P— (B^' f BiOcP-* H- ... -h Bfc-iiPP-^^)'.

On peut donc écrire R^ sous la forme

Ra = P — (B^P -h B,XP-^ -h ... -h Bk-'iJ^'^y

— B*-ia^*+* («B^ -4- B^xP-^ -h . . . +- Bfc-aa^*+*)]

— (B]fc-iai^*+*)«.

On a donc

Ce qui conduit à la règle suivante : Pour trouver le reste Bm, qui correspond au dernier terme trouvé à la racine^ on ajoute

à celui-ci le double de la partie antérieurement déterminée ; on multiplie cette somme par le dernier terme et on retranche ce produit du reste précédent.

GJ6. Remarque. Si P est im polynôme de degré m, le reste Kit esl d'un degré égal à (m — k) ou d'un degré inférieur.

Cette loi se vérifie pour R, : supposons la vraie pour R*-^ et montrons qu'elle subsiste pour Rjt. Dans la formule (C), le coefficient B^-i a été obtenu en identifiant le premier terme de R*j,avec 2BoBfc,a?*P-*+*. Ces termes disparaissent donc et il ne reste plus que des termes en x^p-*, ou en x*»-* puisque Ton diipzr, m; en général R/k est donc de degré (m ~ k). Mais il peut arriver, dans des cas particuliers, que les termes en {?n—k), dans (C), disparaissent aussi. Dans ce cas les degrés de deux restes consécutifs Rjfc-i et Rit, diffèrent de plus d'une unité.

B3«Ré^lepoar l'extracUon de la raeine carrée d*aii . polynéme entier* On conclut de ce qui précède la règle suivante : Soit un polynôme entier P, ordonné suivant les puissances décroissantes de a? ; on suppose que P est le carré parfait d'un polynôme inconnu Q: pour trouver celui ci, on peut opérer de la manière suivante :

1* Ayant constaté (sinon le problème est impossible) que le degré m rfc P, est pair et que le premier coefficient A© estpos itif,

1^ le degré de la racine est — , a** le premier coefficient est égal

à (±V'Ao); ^oit Bo ce coefficient.

2* Ayant retranché de P le catré du premier terme, on obtient un reste R|. Si Von divise le terme de degré (m — i), de ce polynôme par le double du premier terme trouvé, on a le second terme de Q.

30 Ayant déduit RarfeR,, et, plies généralement, llude Ra,, comme il a été expliqué, on obtiendra le terme correspondant de la racine en divisant le lerine de degré (m — k) deWk par le double du premier terme de la racine.

Lorsque le problème est possible, comme nous Tavons supposé jusqu'ici, les termes de la racine se déterminent ainsi suc-

BACINE CARBÉE 53

cessivement. Il admet d'ailleurs deux solutions, car Ton peut

prendre, au début, pour Bo la valeur 4-VX^ ou la valeur— vXô. La règle même que nous venons de donner prouve que les deux résultats, qui correspondent à ce double choix, sont identiques, au signe près.

G4I. Extraction de la racine ewtrvée d'un polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes de x.

On peul obsers^er que la théorie précédente s'applique à des polynômes ordonnés par rapport aux puissances croissantes de la lettre x. L'énoncé de la règle donnée se modifie facilement dans cette hypothèse et il est inutile d'insister sur celte modification. Nous ne touchons à ce point que pour feire remarquer que si un polynôme donné P est, par hypothèse, le carré d'un polynôme entier Q; on peut, indifféremment, pour trouver Q, ordonner P par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de x. Les deux voies conduisent au résultat cherché sans qu'il y ait, en général, de raison appréciable pour préférer lune à l'autre.

6&. Forme homogène d'un polynôme entier. Pour bien marquer la raison de Tindifférence qui préside au choix des deux manières que nous venons de noter pour l'extraction de la racine carrée, il est utile de remarquer qu'une fonction entière de x peut toujours être considérée comme identique à une fonction homogène des lettres x et y, mais avec cette réserve que y est supposé égal à i. En effet Tidentité que l'on veut résoudre,

(A) AoO^-l- A,ir^-^-f- . . . -h Ams:(Boa:P-4-B,xP-*-f-... -I-B;,)*

peut s'écrire, si Ton suppose y ~ t ,

(A') Aoa^+IL^x^''^ y-h. . .+A«y'"s: (BoicP-l-B,xP-*y + . . .-hBpypy.

On peut dire d'ailleurs que l'identité précédente a lieu,

54 aNQUlÈME LEÇON

jmW que soit y, et quel que soit x; et non pas seulement pour y =: 1, quel qu^ soit x. Imaginons en effet une identité,

identité qui est vérifiée quelque soit a;. Posons a? — -^; ona

(f)=Kï)-

Cette identité est vérifiée quel que soit X et quel que soit Y,car X pouvant prendre toutes les valeurs possibles, on peut donner à Y et à X toutes les valeurs que Ton peut imaginer. Ainsi X et Y sont des variables arbitraires. Toutes les valeurs d'X et d*Y satisfont à cette égalité et aussi, évidemment, à celle-ci

ï«,(|).ïh(|).

k étant le degré commun des polynômes ^ et ^. On peut donc formuler la remarque suivante : Une identité dans laquelle n'entrent que des fonctions entières de x étant établie y si on la trans-

forme en remplaçant x par - , après avoir chassé les dénominateurs, on obtient une identité qui a lieu quel que soit X et