QUELQUE 801T Y

D*après cette observation, si Ton veut établir Tidentité (A), on pourra, si on le préfère, établir l'identité (A'), puis suppose r y :=: 1. Or on peut ordonner indifféremment (A'), par rapport aux puissances décroissantes de x ou par rapport aux puissances décroissantes de y. L'extraction d*une racine carrée exacte peut donc, pour ce motif, se faire également bien, et indifféremment, en opérant sur le polynôme proposé écrit dans la première ou dans la deuxième forme.

GG« Racine etkwrée des polynômes qui ne sont pas des carrés parfidts. Définition. Étant donné unpolifndfm P supposé quelconque, jn étant son degré; si m est pair il existe toujours, nous allons te démontrer, un polynôme Q de degré

RACINE CARRÉB 95

— ei un polynôme R de degré moindre qu^ , têts que F on ait

(•) Ps:Q»4-R:

Q eêt la racine carrée deV; K est le rate de F opération.

09. Théoréiiie. Le problême que nous venoni de définir ne peut comporter, pour la racine, que deux valeurs identiques et de signes contraires; et, pour le reste j qu'une seule valeur.

En effet, soit Q' et R^ une seconde solution ; on aurait donc

Par suite, en comparant (1) et (a),

oa

m Or, Q et Q sont, par hy pothèsoi des polynômes de degré — ;

R et R' des polynômes de degré moindre que — • Si le produit

(Q — Q') (Q H- 00 ii'ôst pas identiquement nul, l'identité (3) est donc impossible, le premier membre étant de degré supérieur à Tautre. On a donc nécessairement

(Q-Q')(Q + Q')=:o par suite

ou

La racine carrée petit done avoir seulement deux solutions représentées par des polynômes identiques, mais de signes contraires. On voit aussi, que Tidentité (3), dont I@ premier membre est identiquement nui, donnô

R' — Rso

G8. SkilnUon du problème* — DétermliMUion des Inconnues Q et R. Nous supposons que P est un polynôme de degré pair et que son premier terme, celui de degré le plus élevé, est positif. On doit, en effet, remarquer que Tidentité (ij n*est réalisable que si ces deux conditions sont remplies.

Appliquons au polynôme P, la règle pratique donnée plus haut pour extraire sa racine carrée, en supposant, pour un instant, que ce polynôme soit un carré parfait.

Désignons par Q Tensemble des termes obtenus à un certain moment, dans cette opération qui peut être poursuivie jusqu*à ce qu'elle devienne impossible ; le reste obtenu est identiquement égal à P — ^* et Ton peut écrire, en désignant ce reste par r

(1) P=:?'"hr.

Cette identité peut se vérifier pendant tout le courant du calcul ; mais l'opération, si P n*est pas un carré parfait, cessera d'être possible quand on ne pourra plus diviser le premier terme du reste par le double du premier terme trouvé à la racine ; c'est-à-dire quand le reste sera d*un degré plus faible que celui de la racine. Si, à cet instant, on appelle Q la valeur de g et R la valeur de r, Tidentité (4), devient :

Les polynômes Q et R, ainsi déterminés, remplissent les conditions exigées par la définition que nous ayons donnée tout à l'heure. On peut donc conclure i* que la racine carrée de P est ± Q ; a® que le reste est égal à R.

Raelne mtème.

GO. Définition. Si un polynôme donné P, a été obtenu en élevant un polynôme inconnu Q, à une puissance m, on dit que P est une puissance m^^ exacte : Réciproquement, Q est la racine fn"* de P.

RAQNE CARRÉE 57

Si, ce qui est le cas général, P n'est pas une puissance m"*« exacte; extraire sa racine m""" c'est trouver deux polynômes Q et R tels que Ton ait

Ps:Q«-|-R;

R étant de degré moindre que Q : Q est la racine ; R est le reste de cette opération.

La théorie de la racine m^'' est très semblable à celle que nous venons d'exposer pour la racine carrée. Nous allons Texposer ici, mais rapidement, pour éviter des répétitions inutiles.