Racine m"'* exacte. Posons

axP ^ bûcp-^ -h cxr-^ J^ . . .h- /s(aa:^-f-^-« 4- . . . +X)'".

et développons le second membre par la règle de la multiplication des polynômes. On a

et, par suite

a ma*"

Les nombres p et ^ sont entiers ; pour que le problème soit possible, il est donc nécessaire que Vexposant p, soit un multiple de rindice m de la racine. Si cette condition est remplie, q est donné par la formule,

D'autre part on a, pour déterminer a, l'égalité;

Si m est impair, on sait que ^a n'a qu^une valeur réelle ; si au contraire m est pair ily a zéro,oudeux valeurs,suivant que l'on suppose a < o, ou a> o. Ainsi, si m est impair, il y a toujours une solution pour le premier coefficient a et il n'y en a qu'une seule ; si m est pair il faut, pour que le problème soit

possible, que le premier coefficient a, du polynôme donné

soit positif. Si celle condition est remplie, a a deux râleurs égales et de signes contraires ; dans le cas conlrairei le pro* bième est impossible.

Pour déterminer le second coefficient 0, on remarque que si Ton pose,

c'est-à-dire

H| — bxp-^ 4 cxP-^-h . . . + ^ on aura

bxP-^ -4- cxp-i -h . . . 4- / = ma"»-'ic('»->)î(Pa^"^ -h . . -f- X) + ^*.

Le polynôme 8t désigne ici l'ensemble des autres termes en xqai proviennent du développement de Q""» ces termes sont d'ailleurs d'un degré inférieur à {mq — i). On conclut de là que le terme

ma»»-' Pa;»»«^-» ou tna»»-» f^xP"^

est irréductible : le coefficient du premier terme de R^ est donc égal à ma^^^^. Ainsi le second coefficient g s'obtient en divisant le premier coefficient du premier reste par m fois la puissance (m — i)"^ du premier coefficient trouvé.

Celle loi se généralise sans difficulté. Dans cette théorie qui offre, avec celle que nous avons exposée tout à l'heure pour la racine carrée, des analogies trop marquées pour qu'il soit utile de la présenter avec les mêmes développements ; la différence la plus essentielle porte sur le calcul des restes successifis. Nous avons donné plus haut une loi de formation, par voie de récurrence, des restes de la racine carrée. Cette loi ne s'applique pas à la racine m°*<»; les restes successifs doivent se calculer en retranchant du polynôme proposé la puissance w"»* de la partie trouvée à la racine.

I. Pour expliquer ce polût, dans tous ies détails, on peut se seTrlr du déTeloppement de la puissance m»* d'un polynôme, dëreloppement donné précédemment. Mais on peut aussi observer que les seuls principes de la multiplication algébrique fruffisent à établif les ràisohde&ieiits qUé tious donnotiB iei.

RACINE GARHÉK

91. Racine iii»« ineuicte. Supposons que P soit un polynôme quelconque mais remplissant les conditions suivantes: i"* son degré est un multiple de m, ik^ son premier coefScient est positif, dans le cas où m est pair : en appliquant à ce polynôme la règle d'extraction de la racine m""® on a, à chaque instant, Tidenlité

q étant la partie trouvée à la racine, r le reste correspondant. On ne peut être arrêté dans ce calcul que si le reste obtenu est de degré inférieur à celui de q; et si Ton appelle Q la valeur de qj à cet instant, R le reste correspondant, on a :

Ps:Q«-f-R.

Les polynômes Q et R ainsi déterminés résolvent le problème proposé, puisque R est d'un degré inférieur à celui de Q.

Applications.

Kf^. Démontrer que le produit de quatre nombres consécutifs augmenté de i est toujours un carré parfait»

Soit - le premier nombre ; il faut établir que le nombre U est un carré parfait. On a, en développant le calcul indiqué,

Appliquons au numérateur la règle d'extraction de la racine carrée, on est conduit au calcul suivant :

x^-^'Socy-^y^

{2aj*-4-3â72/)3aîyzi6a;V-l-iK!pV

( iLaf-^^xy-Hf )y ■ zz a.ry-Kfiiry *-f-y^

Ce calcul prouve que Ton a

le théorème est donc démontré.

7S. Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme U,

U =: Ax* + iBxy + Cy"

soit un can*é parfait :

On doit distinguer deux cas dans cette question, suivant que l'on suppose A — o, ou A ;zf o. Si A =z o, U ne pouvant pas renfermer X au premier degré, il faut supposer B =i o. Cette con. dition nécessaire est d'ailleurs suffisante; car si elle est remplie, on a U = Cy* ; U est bien un carré parfait.

Prenons maintenant le cas général, celui où A n'est pas nul. Supposons A>o, autrement le problème proposé serait impossible, comme nous l'avons reconnu plus haut. On a:

AU = A V + aABojy + ACy*.

Le calcul suivant :

VAV + a Aary + ACy* R,=y*(AC-B*)

Aic + By

(2Aic + By) By zz %Khxy -|- By,

prouve que si Ton a AC — B* ;zf o, AU, et par conséquent U n'est pas un carré parfait. U est donc nécessaire que Ton ait AC — B* zr o. Je dis que cette condition est suffisante. L'identité qui a été établie par le calcul précédent

AU = {kx + By)* + y'(AC — B*)

prouve, en effet, que si l'on a AC = B*, AU est un carré parfait.

Le polynôme U est donc aussi un carré parfait, savoir celui

kx + Bi/

de = — , quantité réelle dans l'hypothèse A > o, que

nous avons adoptée.