V:s:Xy+iïhyz + k''z

On sait que la condition nécessaire et suffi^nte pour que U soit carré parfait est

A'A" — B'no.

Les trois conditions sont donc

2"° Cas, Soit A;zf u. Ecrivons U de la manière suivante : U =: Ax' + iix {B"y + B'z) + A'^' + iByz + Mz\

On peut considérer U comme un trinôme du second degré en a;, dont le premier coefficient A est différent de zéro.

62 CINQUIÈME («ËÇON

Appliquons à ce trinôme le caractère démontré au pat graphe précédent, on a

(B'V + R'zy = A(Ay + nByz + AV).

Mais cette égalité est une relation d'identité, elle doit ave lieu quel que soit y, et quel qtce soit z ; on a donc les condition

i B"*=::AA' (i) { B'B"=:AB ' B'*=AA''

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes, en supposant toi tefois A > o. On a, en effet, A n'étant pas nul

AU s AV + AA'y' + AA"^' + lAByz + aAB'zar + 2AB"a:i/

ou, en tenant compte des relations (i),

AU s: AV- + B*y + B' V + aB'B'^^ ^ aAA'^so; + aAA'^ary

ou enfin,

AU s {Ax + B'V + B'zy

Cette identité démontre bien que AU, et, par conséquent, ) est un caiTé parfait ; savoir, le carré de

VA

t. Trouver quelle condition doivent remplir les coefficients a (t y, pow que le polynôme V,

U3E aV -h- aa;'"'-h &x' + yx-hy*

soit un carré pca*fait* On trouve

• 3— aaY:i:7.

S. Recùimaitrt que les polynômes U, Y ;

Us:36a;(6x4-i)(3x+- i)(2X-hi)-4- i

sonides carrés parfaits.

On trouve, en appliquant la règle pour Textraction de la racine carrée