Démontrer que U
a* fi* L- s J?(a? + a)(a:-H 3) (i» 4- » 4-^) + -7-
eti un carré parfait .
On trouve
Usfa;*-h(a4-;à)d;-+-^^j
9&. Définitions. Imaginons, sur une première ligne, n nombres que nous désignerons par
ai (Zi . . . a|.
Imaginons de même (n — i) autres lignes analogues, Tensemble de ces nombres donne le tableau suivant
Gi a9 , . . a^
t*« CIm • • • (»n
Ce tableau constitue un détei^xinanL II faut bien remarquer que flg est une écriture symbolique. La lettre a ne désigne pas une valeur numérique, comme dans là notation algébrique ordinaire; par a* nous voulons seulement désigner le nombre ou
élément du déterminant qui est écrit dans la ligne 6 et dans la
colonne a.
On appelle ferme d'un déterminant le produit obtenu en multipliantnéléments de cedéterminant : ces éléments étant choisis de telle façon que, parmi eux, deux quelconques ne soient pas situés dans la même rangée. Ce produit doit être affecté du signe 4- ou du signe — , suivant les cas, et conformément à une règle que nous ferons connaître tout à Theure.
90. Pennatotionfti, Inversions. Soient i, 2. .*. . n, les n premiers nombres naturels.
Supposons qu'ils soient écrits sur une même ligne, dans un ordre quelconque, et soient a et 3$ deux des nombres de cette suite, 2 étant placé à la gauche de 3* On dit que a et 0 présentent une inversion quand on a a > 3. L'ensemble des n premiers nombres naturels écrits les uns à la suite des autres dans un ordre quelconque constitue une permutation, Lapei'mulalion est paire lorsque le nombre total des inversions est pair; on dit aussi qu'elle est de pi'emière classe: elle esïrnij^aire ou de seconde classe dans le cas contraire. "'* '^ ' -'î
Parmi les permutations on dislingue la suivatité 1^ a, //l ni elle ne présente aucune inversion. Nous la nommerons pe^'mwlation principale.
9*9. Remarque I. Une permutation change de classe quand on fait réchange de deiiœ nombres consécutifs.
Soient p et q deux nombres consécutifs d'une permutation P; désignons par A l'ensemble des nombres qui sont écrits avant p et par B l'ensemble de ceux qui suivent q, de telle sorte que Ton «lil
Permutons les nombres /> et q et considérons la nouvelle permutation
Pj — A . ^.j!> . B.
Us inversions des nombres qui sont écrits dans A, sont restées les mêmes; il en est de même des inversions dep sur les nombres de B, et de q sur ces mêmes nombres. Enfin les inversions des nombres écrits dans Bsont aussi les mêmes. Mais si p. gr présentaient une inversion dans P,, cette inversion a disparu dans P,, ou inversement. Dans tous les cas la classe a changé.
98. Remarque II. Une permutation change de classe quand on pennute deux nombres quelconques.
Soient les deux permutations
Psi=:A.g.B.p.C;
A désigne tous les nombres qui précèdent p, B tous ceux qui sont placés entre p et ç, enfin C les nombres qui suivent q. Considérons la permutation
PjZzA.B.j^.g.C.
Si z désigne le nombre des éléments de B, on a dû faire z permutations d'éléments consécutifs pour passer de P, à P,. De même si Ton forme avec P, la permutation
Pj = A . î . B . p . C,
on voit qu'il a fallu faire {z+ i) échanges d'éléments ou facteurs consécutifs. Concluons donc que pour passer de P^ à P, on a fait (2z+i) permutations d'éléments consécutifs. Or, pour chacune de celles-ci, il y a changement de classe : la permutation considérée passe de la première classe à la seconde ; de celle-ci, à la première ; et ainsi de suite. Si le nombre des échanges entre deux éléments consécutifs est pair, la classe reste la même ; si au conlraire^ comme dans le cas qui nous occupe> ce nombre est impair, on peut affirmer qu'il y a eu changement de classe.
99. Définition du sig^e d*an terme d^un déterminant. Nous pouvons maintenant définir nettement le signe d'un terme d'un déterminant. Soit
U zz al' . al^ . a** . . . a^
P< Pa P3 P,i
un terme formé par le produit de n nombres différents de zéro, nombres pris dans le tableau (A), et de telle façon que toutes les colonnes et toutes les lignes y soient représentées. Alors
"^1 '^a 3Cj . , . Xn
Hi Ha Ht • • • H«
représentent deux lignes identiques à
abstraction faite de Tordre des nombres. Comptons les inversions de ces deux lignes : si la somme totale de ces inversions est un nombre pair nous donnerons à U le signe -\- ; nous lui donnerons, au contraire» le signe —, lorsque les inversions comptées sur les indices supérieurs et inférieurs foi meront, ajoutées les unes aux autres, un nombre impair.
Mais cette définition ne peut être acceptée qu'après avoir établi le principe suivant.
80. Pritt<sfpe. Le signe d'un terme ne changepas quand on intervertit l'ordre des facteurs qui le composent.
Posons
L ^Aa^BaJC
et
U et V ont la même valeur, mais il faut montrer qu'ils ont aussi le même signe. Dans la notation du terme U, A désigne
le produit des éléments qui peuvent précéder a^ ; B le produit de ceuxqui peuvent être compris entre «g et a^, ; enfin C le produit des éléments qui peuvent suivre a^/. S'il n'y a pas d'éléments
avant aï, on supposera A = i ; cette observation s'applique à
B et à C. Si Ton compare dans U et dans V les inversions des indices supérieurs, on voit que deux nombres ont été échangés et que, par suite^ la permutation a changé de classe. Cette remarque s'applique aux indices inférieurs. Mais alors la somme totale des inversions pour les indices inférieurs et supérieurs û*apas changé de parité, donc U et V sont deux nombres égaux et de même signe.
Exemple. Considérons le déterminant
les éléments i, 6, 8 forment un terme dont la valeur absolue est U i:^ 1 . 6. 8 = 48. Pour déterminer le signe de U il faut écrire
et compter les inversions des indices supérieurs et inférieurs. On trouve ainsi une inversion pour les premiers, ^éro pour les autres, donc U doit être pris avec le signe — .
Principes élémentaires poar le calcnl des déterminants.
81. Théorème I. Si Von échange dans un déterminant A les lignes et les colonnes, le déterminant A', ainsi obtenu^ est identique à A-
En effet soit
«1 (Xi a„
a ff » » n a ff
un terme quelconque de A. L'élément ag** qui dans A désigne
le nombre qui est écrit dans la colonne de rang xp et dans la ligne de rang 6;,, est placé dans A' dans la ligne de ranga^ et dans la colonne de rang 6p. Les éléments de U sont donc, d'après cela, écrits dans A' dans des lignes et dans des colonnes toutes différentes. Ainsi U est un terme de A'. Je dis qu'il a dans A' le même signe que dans A.
En effet le nombre a^^ , étant écrit dans A' dans la colonne
6p et dans la ligne ap, doit, conforn\jément à la convention faite,
g être représenté par aj* . Cette remarque s'applique à tous les
LES DETERMINANTS 69
facteurs de U et Ton voit ainsi que ce ternie U se trouve dans le déterminant A', mais avec cette particularité qu'il a feUu échanger les indices supérieurs et inférieurs ; ceci n'^altère pas la somme des inversions et le signe de U dans A^ sera donc le même que dans A. La réciproque est vraie: Les deux déterminants A, A' sont donc composés des mêmes termes, affectés des mêmes signes ; ils sont, par suite, identiques.
Hft. Théorème II. Si r on permute deux lignes ou deux colonnes d'un déterminant A, on obtient un déte^^minani à' qui est identique à A, mais de signe contraire.
Permutons par exemple les colonnes j» et q. Soit U un terme de A; toutes les colonnes devant être représentées dans U il y a, parmi les facteurs de U un nombre A qui est écrit dans la colonne p et un nombre B qui appartient à la colonne q. Désignons par Rie produit de tous les autres facteurs, facteurs que nous pouvons supposer écrits dans U, avant Tes éléments A et B. On aura
a et 6 désignant les lignes auxquelles appartiennent les nombres A et B.
Tous les facteurs de U appartiennent à A' et sont écrits dans des lignes et des colonnes différentes de ce déterminant A\ La seule différence consiste dans ce fait que A est écrit dans la colonne q et la ligne a ; B dans la colonne p et dans la ligne 6. Pour calculer le signe de U dans A' on doit affecter A de Tindice supérieur q et deTindiceinférieur a; pourla même raison l'indice supérieur de B sera q et son indice inférieur 6. Le produit
sera égal et de signe contraire à U. En effet il y a aux indices supérieurs un seul échange de deux nombres et il n'y en a aucun aux indices inférieurs. En résumé les termes de A sont deux à deux égaux et de signes contraires à ceux de A^ La
réciproque est vraie et résulte du raisonnement même que nous venons de faire. On a donc
88. Corollaire. Un déterminant qui a deux lignes ou deux colonnes identiques est identique à zéro.
Soient p et q les deux colonnes identiques de A; permutonsles, et soit A^ le nouveau déterminant. Le théorème précédent donne
(i) Asr-A'.
D'autre part les deux colonnes peiq étant identiques, la permutation précédente laisse le déterminant identique à luimême : on a donc
(a) As A'.
Ajoutons (i) et (2) on a,
aA^o, ou As:o.
Déterminants minears.
84. lléfinitions. Lorsqu'un déterminant A renferme n lignes et par conséquent n colonnes, nous dirons qu'il est d'ordre n. Si Ton supprime une ligne 6 et une colonne a, il reste un déterminant d*ordre (n— 1), que nous désignerons par
Ag. Pour distinguer ces mineurs de ceux que nous allons dé-
finir et pour éviter toute confusion de langage nous dirons que les mineurs obtenus par suppression dune seule ligne et cTune seule colonne sont les mineurs de première classe.
Supprimons maintenant deux lignes 6, 6, et deux colonnes »! a, ; nous obtiendrons un mineur de seconde classe que
nous désignerons par A^^.^ et ainsi de suite. En général A«* J^ / désignera un mineur de classe k du déterminant
LES DÉTERMINANTS 7t
A, mineur obtenu par la suppression des k lignes 6, 6, . . ik et et des k colonnes x^ a, 2. ..k-
85. Théorème. Lorsque le déterminant A est développéy si Ton réunit tous les termes qui renferment le facteur a^^, F en*
semble M de ces termes est égal à (— i)""^a*Ag.
Considérons d'abord le cas particulier où l'élément considéré est a} ; on a
que Ton doit écrire
Al =
ai .
al.
-ly- • •
pour rester dans la convention générale. Mais on peut observer qu'il est indifférent de compter les inversions avec les indices *', l' y . . (n — 1)' de (2); ou les indices 2, 3, . . n de (i). 11 est visible, en effet, qu'au lieu d'adopter les indices 1, 2, . . n on pourrait prendre n nombres croissants quelconques pour marquer le rang des lignes et des colonnes ; ces indices servant uniquement à marquer le signe du terme d'après la parité du nombre des inversions.
Ceci posé, imaginons un terme U quelconque de A renfer*
mant le fecteur a^ ; soit a, z ce terme ; les (n — i) facteurs de
R sont (n — 1) éléments de a! et sont écrits dans des lignes et des colojaues différentes de ce déterminant* Ainsi R est un terme de A. : d'ailleurs le signe de U. puisque le premier fac-
teur est a\^ dépend des inversions qui existent dans les indices
(le R. Nous venons de remarquer que le signe du terme R, dans A| peut se trouver indifTéremment avec les indices des formules (i) et (a) ; ainsi R est en grandeur et en signe un terme de A^ . La réciproque est vraie et le théorème qui nous occupe
se trouve ainsi établi pour un cas particulier, cas auquel nous allons ramener le théorème général.
Considérons Télément a^ de A et permutons les lignes,
deux à deux jusqu'à ce que la ligne 6 soit arrivée au premier rang. Il a fallu pour ceh faire (6 — 1) permutations successives, et Ton obtient un déterminant A', qui donne lieu à ridentité
(i) A:=(-ir^A.
Dans A' faisons subir aux colonnes des permutations successives Jusqû*à ce que la colonne a vienne occuper le premier rang. On a fait (6 — 1) permutations et le nouveau déterminant A" est tel que Ton a
De (1) et(*i) on déduit
L'élément a^ est dans A'', écrit dans la première Ugne et
dans la première colonne; nous venons de montrer que tous les termes qui, dans A'', renferment cet élément en facteur forment le déterminant obtenu par suppression de ces deux
rangées. Ce déterminant est évidemment A^ puisqu'il n'a été
&it que des déplacements de lignes ou de colonnes. L'identité
(3) prouve que l'ensemble des termes renfermant r?g doit être identique dans les deux membres ; on a donc
Mzz
OU
En posant
on a
M - al Kl
Cette DOtalion esl utile dans certaines questions.
SB. CtMrollaire I. Le déterminant A peut se développer en mineurs de premièi^e classe conformément à In foj^mnle :
(i) A = «1 AÎ -«î A?-+- . . . + (- i)«+* < A? + . . .
-4-(-ir^'«;Aï.
En effet, si nous imaginons que A soit développé, conformément à sa définition même, les éléments de la première ligne entrent au premier degré dans chacun des termes de ce développement. On peut donc dire que l'on a
A s: ^1 X| 4- «I As 4- . . + a*! a„
en imaginant que a^ Xt représente l'ensemble des termes qui
renferment l'élément a^ et ainsi des autres. En appliquant le Ihéorème précédent on voit que
Al — Al A2 — ( — l)rt|At • • • A,i = ( — V rt|Ai-
La formule (i) est donc démontrée; elle s'applique, sauf une modification évidente sur les indices, aux éléments d'une colonne ou d'une ligne quelconque. Cette formule donne un procédé de calcul pour développer un déterminant donné. En effelaprèsavoirdéveloppé A en mineurs de première classe, comme nous venons de le montrer, on pourra appliquer à cha-
cun de ces mineurs le même procédé de calcul et Ton obtiendra le développement de A en mineurs de seconde classe; et ainsi de suite.
HK. Corollaire II. Lorsque les éléments (Tune ligne oudune colonne p (Tun déterminant A renferment tous le facteur K; si Von appelle A' le déterminant obtefiu en supprimant ce facteur K, on a
As:KA'.
Soient A, B, C ... L les n nombres écrits dans la colonne p. On a d'après le corollaire précédent,
A = (- i)^* AA?-h(- i)''+'BAÇ . . .-h(- i)'^LAS.
Mais on suppose
A = KA' B = KB'. ..L=:KL'.
On a donc,
|:=(-.)'^'A'AÎ-»-(-.)'^'B'A§... + (-.f"L'Aî:.
Si nous imaginons le déterminant A' formé en remplaçant dans A ; A par A', B par B' etc., L par L', on voit que le second membre de cette identité est précisément A'. Ainsi on a
^=:A'; ou AsKA'.
88. Corollaire III. Lorsque dans un déterminant A deux lignes ou deux colonnes ont des éléments proportionnels, ce déterminant est identique à zéro.
En effet A' a deux colonnes ou deux lignes identiques, on a donc {% 83), A' z o ; mais A est identique à KA', (g 87) on a donc A«o.
89. Théorènie. Lorsqxie dans un déterminant A une ligne, ou une colonne p, est formée d'éléments polynômes
fi i 0 \ 0
Xi -+- Xg . . . -f. "^
A est identique à la somme de k déterminants de même ordre; ces déterminants se déduisent de ^en remplaçant dans celui-ci la colonne p successivement par les colonnes.
«i a» etc. ... ak
Xf 7*2 ... Xfe
On a en effet
A=:(-i y^' (ai-+-a.-h..-4-ak)AÎ4- H i)^-(3|-+-^,^-...-hgA-)A;-4- • • • H- (—0^" (ai -f- a. -h . . . Ak) M
ou bien
A = [{- .y* a, AÎ + {-.;^*3, A? + ... + (-.)'^''À, AS]
+ [{- «r ' ,j A? + (-. )^* 3. A?+ . . . 4- (-1)'^" X, AS] +
+ [(-«)^'a*AÎ + (-ir^feAÇ+...+(-.)^''XtA!:]
La première parenthèse représente identiquement A lorsque la colonne p est remplacée par celle des premiers éléments de cette colonne, et ainsi des autres. Le théorème est donc démontré.
90. Corollaire I. On peut, sans changer la valeur d'un déterminant, ajouter à une colonne les éléments d*une ou de plusieurs colonnes situés dans les mêmes lignes ; on peut même
supposer que ces éléments, ainsi ajoutés, otil élé préalabieineni multipliés par des facteurs arbitraires.
Je dis, par exemple, que Ton a
hb-h
Xb'-h
xfc'+
:xr",
Le second membre peut en effet se décomposer en trois déterminants de même ordre (§ 89)
\lf
Le premier est identique au déterminant proposé ; les deux autres sont identiquement nuls, les éléments de deux colonnes étant proportionnels ; l'identité est donc démontrée.
01 . Corollaire II. S'il existe entre les éléments correspondants de K colonnes une relation linéaire et homogène, le déterminant cofisidéré est identiquement nul.
Prenons par exemple le déterminant A,
Vf
ff
et supposons que, pour des valeurs \ \ \, qui ne sont pas nulles, on ait
Aiû" -f- \iV + Xac" \^a'"']-U¥''^\7^c"
Je dis que Ton a
LES DETERMINANTS
on a en eflet,
\\ar
\îb
AjC
rf
XiXiAsA "=■
/via'
\ib'
Aia"^
rf"
Si Ton ajoute (corollaire précédent) aux éléments de la première colonne ceux de la seconde et de la troisième, la première colonne a des éléments tous nuls. Un pareil déterminant est, évidemment, identiquement nul. 11 suffit pour le reconnaître de le développer en mineurs par rapport aux éléments de cette colonne vide.
L Les principes que nous venons d'exposer, et dont l'ensemble constitue comme un premier chapitre de la théorie des déterminants, suffisent dans beaucoup de cas, soit au calcul des déterminants, soit à la démonstration de leurs propriétés. Proposons-nous par exemple le calcul du déterminant :
lO
On peut remarquer qu'en ajoutant la première colonne à la deuxième, on a
'ih
ou, en retranchant la deuxième colonne de la troisième,
ifi 35 0
Sous cette forme on peut développer A en mineurs parrap-
pori a4ix éléments de la troisième colonne ; on n'a à calculer qu'un seul mineur
on a donc finalement
A ^^ «iOo.
La marche que nous venons de suivre peut être souvent appliquée dans le calcul des déterminants numériques. On s'efforce^ par Taddition et la soustraction des lignes ou des co« lonnes, d'amener la présence d'éléments nuls ou tout au moins d'éléments plus simples que les proposés. Nous signalerons, à propos de cette transformation d'un déterminant donné» le cas particulier oh toute une rangée est formée dunités.
Lorsque cette circonstance se présentera on fera la soustraction des rangées, prises deux à deux, et la rangée considérée ne renfermera plus qu'un élément égal à i ; tous les autres étant nuls. Le calcul se réduit alors à celui d'un seul déterminant mineur. On pourra d'ailleurs appliquer cette remarque à tous les déterminants. C'est ce que montre le théorème suivant.
98. Théorème. On peut toujours transformer un déterminant donné de façon que toute une colonne soit foi^mèe d'unités.
Multiplions les lignes respectivement par a'a'\ ao", aa' en supposant aa*a!'-pL^. Il vient
a^a' V^A rz
1 aa'a^ ba'a" ca'a" aa'a" ab'a' ac'a" aa'd* aa*b" aa'd'
LES DETERMINANTS
OU
ba'a'
ca'ol'
ab'a"
aa'b"
aa'd*
aa'd'l =
La transformation annoncée est effectuée. Si Ton veut pro fiter de cette transformation pour calculer A, on écrira,
aa'd'l rz
i ha'd
o a' {ab' — ba)
o a" {ab' — ba')
ca'a" a' {ac a!' (ac' -
ca') 'ca')
ou
aa'a'\ — afa''{ab'—bd){ac'--ca")'-a'a"{ac'^ca') {ab"-ba") on trouve finalement,
A =r ab'c" 4- bc'a" 4- ca'b' — ac'V' — ba'c' - cb'a,
04. Régie de Siarras. Le déterminant du troisième ordre à cause de sa simplicité même, se rencontre fréquemment. On peut le développer par la règle suivante donnée par Sarrus.
Formons le tableau ^
tableau déduit, comme Ton voit, du déterminant proposé
en lui ajoutant les deux premières lignes. En coupant le tableau par des lignes parallèles aux diagonales de A on obtient
SIXIEME ET SEPTIÈME LEœSS
les six termes de ce déterminant: les trois termes qui sont dans les lignes parallèles à la diagonale principale doivent être pris avec le signe -h ; les trois autres avec le signe — .
0&. Remarque. La règle que nous avons donnée pour transformer un déterminant en un autre ayant une colonne d^unités est plus particulièrement applicable au cas où le plus petit multiple commun (numérique ou algébrique) des élémenls a, a\ a" n*est pas le produit aa'a\ mais un nombre plus simple.
Soit par exemple,
Multiplions les lignes respectivement par a,b et c. Le déterminant est ainsi multiplié par abc; mais la première colonne ayant tous ses éléments égaux à abc, on a
bc
ca
ab
ou,
ab'
ne
bc'
ba*
ca;
ab'
ac'
ab)
a{ab
— bc)
b{bc
ou enfin
A — (a' — bc) {b' — ac) [c'— ba).
OO. Nous ferons une dernière remarque. Le calcul d'un déterminant peut toujours se faire par le développement de celui ci en mineurs. Mais, dans un grand nombre d'exemples, on a surtout en vue la discussion du signe de ce déterminant et la détermination des cas particuliers où il s'annule. Ledéva^ loppement en mineurs n'est ]ias, en général, favorable à ces discussions et Ton doit s^efforcer, avant d'avoir recours à ce développement; d'utiliser, s*il y a lieu, la fonne algébrique du
SI
déterminant donné pour faire apparaître par Faddition ou la soustraction des lignes et des colonnes les facteurs de ce déterminant.
Soit par exemple
abc b c a c a b
On écrira ; par une transformation évidente,
a + 6-f-c a + ft-fc
Ai=(aH-6 + c)
On en déduit.
A = (a + 6 + c; (a6 + ttc + 6c — a' — 6* — c*). Le second facteur est égal à,
Il est toujours négatif, excepté dans Thypothèse a^bnc. Dans ce cas particulier A est nul; dans tous les autres cas A est positif, nul ou négatif suivant que la somme (a + fc + c) est négative, nulle ou positive. •<, ;• f
On peut remarquer qu'en développant A en mineurs on a
on a donc
identité remarquable que nous avons déjà signalée {% i)
9K. Théorème de Taadermonde. Soit encore proposé de calculer
jH-l ^»-l çH-l ^ ^^i ^«-1
déterminant étudié par Vandermonde et dans lequel on suppose, bien entendu, que les lettres ayb,c, , . .1 sont en nombre n. On remarque que A s'annule pour azzb,a:^Cy . . . kzzL Posons
Ce nombre F est formé diaprés la règle suivante : 1* Il renferme d'abord (n — i) facteurs obtenus en retranchant de a tous les nombres suivants ; a" Puis (n — a) facteurs obtenus en retranchant de b tous les
nombres suivants, etc. Soit, totalement, —^ ^fecteurs.
Je dis que Ton a (— i) A = P. En effet, A est certaine* ment divisible par P, puisque A est divisible par chacun des facteurs binômes de P. Ou peut donc poser XA = P ; il reste à mon-
trer que Ton a X = (— i)
On remarquera d*abord que toutes les lignes de A devant être représentées dans Tun quelconque de ses termes, chacun de
ceux-ci est du degré i -h2-f-...-h(w— i)n-^^ -. D*après cela, A est un polynôme entier et homogène des lettres a,&,e,.../; le degré de chacun des termes étant égal à —^ — -. D*aulre
SXERCIGES d3
part, P est aussi un polynôme entier, homogène et du degré
— - — , des lettres a,b^..,L De cette comparaison il résulte
que X ne peut être une fonction entière des lettres a, b,..A.
Or X est nécessairement une fonction entière, si X a une forme algébrique. On doit conclure de là que X est une quan* tité numérique.
Enfin le terme principal de A est
Uzi:i.6.c\..A»-*r-*.
Parmi les termes de P on trouve aussi
on a donc
et^ par suite
ux = v
41. Démontrer que si ton prend dam leur ordre naturel neuf ternies consécutifs d'une progression arithmétique ou géométrique pour former les trois lignes d'un déterminant^ celui ci est nul.
On retranche les colonnes denz à deux, dans le cas de la progression arithmétique, et, pour la progression géométrique, on remarque que deux colonnes ont les éléments proportionnels.
S* Soit la suite
1, s, «), Oy O, iOf • • •
dite suite de Lamé oH de Fibonaccik Démontrer que si Con prend fieuf termes
consécutifs quelconques pour former un déterminant, celui ci est toujours nul,
