Calculer le déterminant A

iH-t*

(n-hp) ... (n + i)

in+p){n+p-i)... (n+i)n

(n+|>-f-i)(n+p)..(n+Q), (n+/>)..(n+i),.. (w-f-i)n..(n-p-ha)

On retranche les colonnes denx à deux et on reconnaît que Ton a

D'après cela,

f(rf<)

THÉORÈME DE M. ROUGHÉ.

1. Nous nous proposons^ dans cette leçon,. de résoudre et de discuter le système de m équations linéaires à n inconnues x^,Xi,... Xm* Nous examinerons d'abord le cas où il y a au* tant d'équations que d'inconnues. Posons

X* = a[x^ + a\x^ -[-••••+" <*r^m"" ** = *> Xj = a^^i + a^c^ -h ... -h àl^x^— A, zr o

X«=<a?,+aia?,-f-.., + a;;a?

et,

a* . . . aj*

di9 . • ■ tt^

mm m

A est dit le déterminant du système proposé.

OO. Théorème. Lorsque A est différent de zéro il existe, pour le système proposé^ une solution unique formée par des nombres qui sont tous finis et bien déterminés.

Développons A en mineurs, on a, par une notation indiquée précédemment (S 85)

A = a|A| + aJAJ-f-...a«A7.

Les nombres A], A|, . . . A^ne sont pas tous nuls, puisque

nous supposons A p^ o. Formons la combinaison A|X| 4-

AjXj 4- . . . -I- Af* Xm = o et désignons par D, le déterminant

obtenu en remplaçant dans A la première colonne par/r^, k^^ km- On peut remarquer que Ton a

En effet le premier membre peut être considéré comme réprésentant le développement en mineurs d^un déterminant qui peut se déduire de A en remplaçant les éléments de la première colonne, respectivement par a\, a^, . . - a^. Mais un

pareil déterminant ayant deux colonnes identiques, est identiquement nul. Cette remarque appliquée aux coefficients de J?,, OT], . . . x^f dans la combinaison

A|X. +AÎX,H-...-4-A-X^=o,

prouve que cette relation se réduit à

On pourra donc former avec les équations proposées les combinaisons suivantes