HO

iCaAl^Da

Nous allons établir gi^e les systèmes H et IV sont équivalentSy en démontrant que toute solution du premier convient au second, et vice versa,

11 est d'abord visible que si les égalités (II) ont lieu pour les valeurs a:J, a?J, . . . x'^ des inconnues, les combinaisons

II' &ites avec les équations H, comme nous Pavons expliqué,

seront vérifiées par les valeurs x^ ■=. x[^ x^zz a?J . . . x^z=.x\^^

Mais il &ut démontrer le réciproque de cette proposition, réel proque qui est moins évidente et qui peut s'établir ainsi. Le système (H') étant écrit sous la forme

x,ùi = A|^, + A^A:, + ... + hlk^

x^b. zz k^k, + A?*, -h ... -h Kk^,

Multiplions ces égalités respectivement par a{, af , . . . a^ ;

cette combinaison est possible parce que tous ces nombres ne sont pas nuls à la fois. En effet si tous ces éléments étaient nuls on aurait A=Oy et nous supposons, au contraire, Api^o. Dans cette combinaison le coefficient de Ar^ est

a|AÎ + aîAÎ+... + <A;f*.

Or ceci n'est autre chose que le déterminant A développé en mineurs par rapport aux éléments de la première ligne. D'autre part, le coefficient de k^

peut être considéré comme le développement en mineurs du déterminant A, quand on a remplacé les éléments de la

deuxième ligne, respectivement par a} aj . . . aj* ; mais alors

deux lignes sont identiques et ce déterminant est nul. Cette remarque s'applique aux coefficients de A„ ..., de k^, et Ton a finalement

AX| := o.

Puisque A n*est pas nul, on a donc

Des calculs analogues permettent de déduire successivement des équations (H') chacune des équations (H) : ainsi se trouve établie Féquivalence des deux systèmes.

1 OO. Régie de Cramer. Le théorème que nous avons énoncé et la règle, dite règle de Cramer, que nous allons donner, sont la conséquence immédiate de cette équivalence.

Prenons l'équation

a7|Ai=D|.

Cette équation peut être interprétée ainsi : étant donné un nombre Dtj et un autre nombre A p^o; trouver un troisième

nombre a:,, qui, multiplié par ûl , reproduise D,. On a vu, en arithmétique, qu'il n'y avait, à ce problème, qu'une solution^ et que le nombre cherché Xg était le quotient (nombre unique, fini, bien déterminé) de D| par A.

D'après cela, et puisque les systèmes (H) et (W) sont équivalents, il n'y a au système (H) proposé qu'une solution ; cette solution a lieu pour les nombres finis et bien déterminés.

-. D, D, Dm

Ces valeurs peuvent s^écrire immédiatement en observant la règle suivante : i^ Lorsque le déterminant A des inconnues est différent de zéro; les inconnues x^, x^, ... Xn ont un déno^ minateur commun ; ce dénominateur est le déterminant des inconnues; a*» le numérateur de Finconnuexp, s'obtient en remplaçant, dans ce déterminant, la colonne formée par les coefficients de Xp respectivement par les termes tout connus des équations; ces termes étant pris avec le signe qu'ils possèdent quand ils constituent les seconds membres des équations proposées.

TnÉORÈME DE M. BOUCHÉ (').

lOl . Définition. Déterminant principal et déterminants caractéristiques» Nous allons considérer maintenant le cas le plus général qu^on puisse imaginer dans la question qui nous occupe, celui où Ton se propose de résoudre le système de n équations à m inconnues. Soit

X» z=z a[x^ + a\x^ + . . + a'^x^ — h\ zz o Xj n a\x^ -4- a\x:^ -+-... + û7a:^ — A", := o

^ Il « t I II > I * II** m n —

le syslème proposé. Formons avec les coefficients des inconnues le tableau suivant

Nous ferons d'abord remarquer que tous les éléments de ce tableau ne peuvent être nuls à la fois. En e£Fet, s'il en était ainsi, on observerait que si un seul des coefficients k était différent de zéro, le système n'admettrait aucune solution finie et que si, au contraire, tous les coefficients k étaient nuls, les équations proposées seraient identiquement nulles et, par suite, vérifiées par des nombres quelconques.

En prenant dans le tableau U un même nombre de lignes et de colonnes, on obtient des déterminants et parmi ceux-ci, il en existe certainement un, que nous nommons déterminant principal, et qui remplit les deux conditions suivantes :

1* U n'est pas nul.

s*" S'il est d*ordre /?, tous les déterminants déduits du la-

1. Comptes rendus des séances de rAcadémie det sciences, 29 noTcmbro 4875. Journal de l'École Polytechnique, xlviu* cahier; i880.

bleau U et qui sont d*un ordre supérieur à p, sont tous nuis.

Nous avons dit que l'existence de ce déterminant principal était certaine, car si tous les mineurs du second ordre étaient nuls, on trouverait au moins un élément différent de zéro^ et cet élément serait pris pour déterminant principal. U peut arriver que plusieurs déterminants d*ordre p remplissent les conditions précédentes ; dans ce cas on choisira Fun d*entre eux arbitrairement comme déterminant principal.

Les éléments qui constituent le déterminant principal sont des coefBcients des inconnues dans le système proposé. On peut toujours supposer que ces inconnues sont X^x^ .. .x et

en désignant par s le déterminant principal, nous aurons donc

.. aP

ap % '" oPp

Prenons maintenant une des équations Xp+a = o et ajoutons à 3 une ligne formée des éléments

et une colonne formée avec les coefficients

k{ k± ... kp kp^oL

Nous obtenons ainsi un nouveau déterminant. Tous les déterminants que Von peut ainsi déduiredu déterminant principal sont dits les déterminants caractéristiques du système. En posant,

p-\.a. /»fa

a doit prendre successivement les valeurs 1,2, . . . (u — p). Ainsi S{^ $2 . . . i„^p sont les déterminants caractéristiques.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de M. Rou* ché.

IIM. Théorème. Etant données n équations à m inconnues.

1® Si les déterminants caractéristiques ne sont pas nuls, les

équations sont incompatibles,

a<» Si les déterminants caractéristiques sont tous nuls, et si tordre de ces déterminants est supérieur au nombre des inconnues, le système admet une solution unique.

3* Dans cette même hypothèse y les déterminants caractéristiques étant tous nuls, si la différence m — p est un nombre positif i ; le système admet une infinité de solutions, et ton peut prendre arbitrairement la valeur des i inconnues dont les coefficients n'appartiennent pas au déterminant principal.

Freiiièrb partie {Incompatibilité). Les déterminants caractéristiques ne sont pas tous nuls.

Développons §« par rapport aux éléments de la dernière

colonne, on a

Nous désignons ici, et d*après une notation conventionnelle déjà rappelée, par Al, la quantité (— i)*^'Ai; Ai étant d^ailleurs le mineur obtenu par la suppression de la ligne de rang z, et de la colonne de rang t. On i:emarquera

que A^i = ±3; A^i est donc une quanlitédiflférente de zéro. Considérons maintenant la combinaison;

(a) V = Af-^'X. + Af"x, + . . . + Af X^ + A'^lx^^^ Le coefficient de X|, dans cette combinaison est,

«1^ ^%\ -H... + a^^Aj^,,

C*est-à-dire, par comparaison avec (1), i^ quand les éléments de la dernière colonne sont remplacés par ceux de la première. Ainsi le coefficient de x^ est nul. Cette remarque s'applique aux coefficients de x^x^ , . ,Xp. Quant aux coefficients de x^\ , . . . Xhj ils sont nuls parce que ce sont des déterminants d'ordre (p+ 1) déduits du tableau (U), déterminants qui sont supposés égaux à zéro. On a donc finalement

ou,

(3) V rr - 3«.

Imaginons maintenant une solution du système proposé. D'après la formule (3), V serait nul, pour ces valeurs des inconnues, et ceci implique contradiction, la formule (3) prouvant que V est différent de zéro. Ainsi le système est incompatible quand un seul déterminant caractéristique est différent de zéro.

Deuxième partie {Solution unique). Les déterminants car acléristiques sont tous nuls, et leur ordre est supérieur à m.

Nous supposons maintenant 8» :^ o^ et p+i>m; le nombre p est donc égal à m, ou supérieur à m. Soit d*abord pz^m. Le déterminant principal étant formé, comme nous Favons dit, avec le tableau rectangulaire (U), p est tout au plus égal au plus petit des deux nombres mein; et puisque p 3;: m, on a donc nir m, ou n > w.

Si Ton suppose d'abord n = m, le déterminant principal S est justement le déterminant du système. Nous avons montré, en établissant la règle de Cramer, que le système comportait, dans ce cas, une solution unique.

Soit maintenant n>m; il y a plus adéquations que (P inconnues et nous pouvons considérer le système.

(4) Xj — o X^ m o . . . X^ iz o

formé par les m premières équations. Puisque p = m le déterminant de ce système est le déterminant principal S. Nous supposons S pf o ; le système précédent admet donc une solution unique, et il reste à montrer que celle solution convient aux équations Xm+i =r o . . . X» = o. Des égalités (2) et (3), établies ci-dessus, résulte Tidentilé

(4) Af+'X, + . . . + A^\ + a;+;x^, + 8, = o.

identité dans laquelle nous supposons pnm. Soit x\,x\,.. xJi

la solution du système (4); puisque î» =: 0, et Aj|î = 8, on a

Xi,-^ai désignant ce qui devient X^^^j quand on y remplace les lettres x^, a?„ . . . Xm par les valeurs particulières x\^ x^ • . • x]^. Mais on suppose S ^f 0 ; on a donc

Enfin si Ton suppose p > m, on a nécessairement n> m; le raisonnement précédent subsiste sans modification essentielle et Ton peut dire encore que le système admet une solution unique.

Troisième partie (Indé(enninatioii), Les déierminants cartic- Jéristiques sont toits nuls, et leur ordre est égal ou inférieur à m.

Nous supposons maintenant p + i ^m;p9L donc Tune des valeurs (m— 1), (m — a), etc....Quantaunombren il peut être, suivant les cas, plus grand que m ; égal, ou inférieur à m. M«iis on peut toujours supposer w > m; on peut toujours, en d'autres termes, admettre qu'il y a plus d'équations que d'inconnues, car on peut adjoindre au système proposé autant d'équations que Ton veut, pourvu que celles-ci soient identiquement nulles.

Considérons maintenant les équations proposées.

(">) X, iz o X^zzo , . .X zi o

et distinguons, dans ce système, les équations (6) X. — o X„ — o . . . X =z ».

Nous supposons p < m et m < n ; par suite p <n. Donnons aux lettres x^^^ . . x^ des valeurs arbitraires, et résolvons le

système (5) par rapport aux inconnues x^j x^, , . . x^; chose possible puisque 8 ;zf o. L'identité (4) prouve que cette solution convient aux équations X^^, n o, . . . X„ z= o. Ainsi il

existe une infinité de solutions pour le système proposé, rindétermination étant caractérisée par ce fait que Ton peut prendre arbitrairement les valeurs des inconnues qui ne sont pas représentées par leurs coefficients dans le déterminant principal.

108. Remarque. 11 nous reste à établir un dernier point en montrant qu'en opérant comme il vient d'être dit> en donnant aux lettres Xp j^p . . . a?^ , des valeurs arbitraires et en déterminant ensuite x^x^ . . .x^ par les équations (6) on a bien obtenu toutes les solutions du système proposé,

Soit.en effet x[x'^ . . . x'^xxne solution quelconque du système (5). Nous avons donné, avons-nous dit, des valeurs arbitraires aux lettres a? , ^ . . .a?^. Les nombres a?^^. . . x'^ ont

donc été choisis, ou peuvent Tètre, pour représenter les inconnues x^^, , . x^. Les équations (6), quand on y fait x^^^

z= x' . . . ic^,, iz x'^y constituent un système de p équations à p inconnues. Le détei-minant de ces inconnues est S, quantité différente de zéro. Un pareil système n'admet qu'une solution (règle de Cramer) ; et puisque ip, zi a?( .. . Xp n oîj^cons-

Qtaent, par hypothèse, une solution de ce système, ces nombres représentent la solution unique du système. La solution xj, x'. x'„ a donc été trouvée en opérant, comme nous

l*avons dit^ et la méthode indiquéedoaae biea toutes les solu lions du système donné.

t. Résoudt'e et discuter le système

ax+ y '\-dzzii

Le déterminaot du système est égal à (a— </) (c— 6) : ou distioguera différents cas, et OD appliquera le théorème de M. Rouché.

S. Résoudre et discuter le système

aœ+ by-\' zm i x-haby-h zzzb x-\- by-^azzni

Le déterminant du système est 6(a— i}*((i-f-J}»